ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HÀ NỘI

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008

MÔN TOÁN

Bài 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức P=

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm x để P <

Bài 2: (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.

Bài 3: (1 điểm)
Cho phương trình

1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2
2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1

Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)

1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH.
2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.
3. Xác định vị trí điểm H để AB= R.

Bài 5: (0,5 điểm)
Cho đường thẳng y = (m-1)x+2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.

Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội

Năm học 2007-2008

Bài 1:

P=

1. Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là
2. Yêu cầu . Đối chiếu với điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là

 

Bài 2:

Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình . Giải ra ta có nghiệm x=12(km/h)

Bài 3:

1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x²-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2
2. Điều kiện cần tìm là

Bài 4:

1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng.
2. nên hay. Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE.
3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có đều cạnh R. Vậy AH= OM=

Bài 5:

Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
KHÓA NGÀY 20-6-2007
MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1, 5 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² – 2x + 4 = 0
b) x⁴ – 29x² + 100 = 0
c)

Câu 2: (1, 5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:

a)
b)

Câu 3: (1 điểm)
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m² và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Câu 4: (2 điểm)
Cho phương trình x² – 2mx + m² – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.

a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ ,x₂.
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x₁ x₂ - x₁ - x₂ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.

Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT
Năm học 2007-2008

Câu 1:

a) Ta có Δ' = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x₁ = 5 – 1 và x₂ = 5 + 1.
b) Đặt t = x² ≥ 0, ta được phương trình trở thành t² – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2.
* t = 25 x² = 25 x = ± 5.
* t = 4 x² = 4 x = ± 2.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5.
c)

Câu 2:

a)
b)

Câu 3:

Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).
Theo đề bài ta có:
Ta có: (*) x² – 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15.
Khi x = 45 thì y = 15 (nhận)
Khi x = 15 thì y = 45 (loại)
Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m)

Câu 4:

Cho phương trình x² – 2mx + m² – m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 thì (1) trở thành:
x² – 2x + 1 = 0 (x – 1)² = 0 x = 1.
b) (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂
Δ' = m – 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ m > 1.
c) Khi m > 1 ta có:
S = x₁ + x₂ = 2m và P = x₁x₂ = m² – m + 1
Do đó: A = P – S = m² – m + 1 – 2m = m² – 3m + 1 = − ≥ –.
Dấu "=" xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là –.

Câu 5:

a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC.
Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BF, CE là hai đường cao của ΔABC.
H là trực tâm của Δ ABC.
AH vuông góc với BC.
b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:
chung và
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB

c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
mà và (do AEHF nội tiếp)


Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )

Vậy mà BC = 2KC nên
d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:
(đối đỉnh)
Δ EHB đồng dạng với Δ FHC

HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12
HC(CE – HC) = 12 HC² – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.
* Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE)
* Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE)
Vậy HC = 6 (cm).

Người giải đề: Thạc sĩ NGUYỄN DUY HIẾU
(Tổ trưởng tổ Toán Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM)