Toán - Tô Mai



56. Tìm các số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố : 5n3 – 9n2 + 15n – 27.

57. Chứng minh rằng với mọi n
N thì n4 + 7n2 + 3n2 + 21 không thể là số nguyên tố.

Giải:

56)

Ta có:

5n3 – 9n2 + 15n – 27

=5n3 + 15n– 9n2  – 27

=5n3 + 15n– (9n2  + 27)

=5n(n2+3)-9(n2+3)

=(n2+3)(5n-9)  (*)

Ta thấy (*) chia hết cho (n2+3) và (5n-9) và (n2+3)(5n-9)

Để (*) là số nguyên tố thì no1chi3 chia hết cho chính nó và 1

Vì n2+3>1 nên 5n-9=1 =>5n=10 =>n=2

Vậy n=2 thì: 5n3 – 9n2 + 15n – 27=7 là số nguyên tố.

57. ta có:

n4 + 7n2 + 3n2 + 21

=n2(n2+7)3(n2+7)

=(n2+3)(n2+7)   (#)

Ta thấy (#) chia hết cho (n2+3), (n2+7) và (n2+3)(n2+7)

Mà: 1< n2+3 < n2+7

Vậy biểu thức đã cho không thể nào là số nguyên tố.

 


Read More Add your Comment 0 comments


Toán - Tô Mai



59. Cho a, b, c, d thoả mãn a + b = c + d, a2 + b2 = c+ d2.

Chứng minh rằng a2002 + b2002 = c2002 + d2002.
(Đề thi chọn học sinh giỏi giải thưởng Lê Quý Đôn, Trường THCS Lê Quý Đôn, Quận 3 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2001 – 2002).

60. Cho các số thực dương a và b thoả mãn : a100 + b100 = a101 + b101 = a102+ b102.

Hãy tính giá trị của biểu thức : P = a2004 + b2004.

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2004 – 2005)
Giải:
59.
Ta có: a2 + b2 = c+ d2
=>a2-c2=d2-b2
=>(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b)   (1)
Lại có: a + b = c + d
=>a-c=d-b
Nếu a=c => b=d hiễn nhiên biểu thức:
a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng.  (II)
Nếu ac =>bd
=>a-c=d-b0
Khi đó biểu thức (1) trở thành:
a+c=b+d (a-c, d-b khác không nên ta có thể đơn giản)
mà: a + b = c + d
cộng hai biểu thức theo vế ta được:
2a+b+c=b+c+2d
=>2a=2d
=>a=d
=>b=c
Vì a=d và b=c nên biểu thức a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng. (I)
Kết luận: với điều kiện đềcho ta luôn có: a2002 + b2002 = c2002 + d2002.
60:
a100 + b100 = a101 + b101
=>a101-a100+b101-b100=0
=>a100(a-1)+b100(b-1)=0      (#)
Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:
a100(a-1)+b100(b-1)>0
không đúng với (#).
Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:
a100(a-1)+b100(b-1)<0
không đúng với (#).
Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.
Ta có:
a100(a-1)+b100(b-1)=0
=>a100(a-1)=b100(1-b)   (*)
Lại có:
a101 + b101 = a102 + b102
=> a102 –a101+ b102-b101=0
=>a101(a-1)+b101(b-1)=0
=>a.a100(a-1)+b.b100(b-1)=0
=>a. a100(a-1)- b.b100(1-b)=0
=> a. a100(a-1)- b. a100(a-1)=0   (do (*) )
=> a100(a-1)(a-b)=0
=>

=>

Với a=1 thay vào (*) ta được:
0=b100(b-1)
=>b=1    (vì b>0.)
Với a=b thay vào 1 ta được:
a100(a-1)=a100(1-a)  
=>a-1=1-a
=>2a=2
=>a=1 =>b=1
Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.
Suy ra: P = a2004 + b2004=12004+12004=1+1=2


Read More Add your Comment 0 comments


Vật lý 10 - Lục hấp dẫn - Bảo Anh



Cho gia tốc rơi tự do trên mặt đất là g=9.8m/. T ìm độ cao của vật có gia tốc rơi tự do là 8.9m/. Biết bán kính trái đất la R=6400km

Giải:

Trên mặt đất ta có:

Ở độ cao đề bài cho ta có:

Lập tỉ lệ 2 biểu thức trên ta được:

 


Read More Add your Comment 0 comments


 

© 2012 Học Để ThiBlog tài liệu