§6.  ĐỐI XỨNG TRỤC

* Tóm tắt lý thuyết:

1)  Định nghĩa hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng:

Hai điểm M và M' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là trung trực của MM'.

Đặc biệt: Nếu M d thì M  M'

2)  Định nghĩa hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng:

* Hai hình F và F' đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu: Mỗi điểm thuộc hình F đều có điểm đối xứng với nó qua d thuộc hình F' và ngược lại.

* Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của 2 hình F và F'.

3)  Định nghĩa trục đối xứng của một hình:

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình F nếu mỗi điểm thuộc hình F đều có điểm đối xứng với nó qua d cũng thuộc hình F.

4)  Chú ý:

- Định lý: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

- Nếu các đỉnh của ABC lần lượt đối xứng qua trục d với các đỉnh của A'B'C' thì ABC = A'B'C' và hai tam giác đối xứng qua d.

- Nếu 2 điểm của đường thẳng này lần lượt đối xứng với 2 điểm của đường thẳng kia qua trục d thì 2 đường thẳng đối xứng nhau qua d.

* Phần bài tập:

¶ Bài tập cơ bản:

      1)   Cho tam giác ABC có  = 60⁰, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H của BC.

    a) Chứng minh rằng DBHC = DBMC

    b) Tính số đo góc BMC.

    2)  Cho tam giác ABC có   = a, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.

      a)  CMR: AD = AE

    b)  Tính số đo góc DAE theo a

   3)  Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm M trên cạnh, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua AH.

    4)  Cho tam giác ABC có  = 60⁰, các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC ở F. Chứng minh rằng:

      a)  E và F đối xứng nhau qua BD

      b)  IF là tia phân giác của BIC

      c)  D và F đối xứng nhau qua IC.

    5)  Cho hình thang vuông ABCD (=  = 90⁰). Gọi I là điểm đối xứng với B qua A, K là giao điểm của CI và AD. Chứng minh rằng:

¶ Bi tập nng cao:

    6)  Cho tam giác ABC. Điểm I nằm trên đường phân giác của góc ngoài đình C (I khác C). Chứng minh rằng:  AC + CB < AI + IB.

    7)  Cho tứ giác EFGH có góc ngoài của tứ giác tại đỉnh G bằng góc EGF. Chứng minh rằng EF + HF > EC + HG.

      8)  Cho hai điểm A, B nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tìm trên đường thẳng d điểm I sao cho tổng IA + IB nhỏ nhất.

--- Hết ---