§6. CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

1. Cho A, B là hai đa thức, B ¹ 0.

Ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B nếu tìm được một đa thức Q sao cho A = B.Q.

2. Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :

– Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

– Chia lũy thừa của từng biên trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

– Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

3. Muốn chia đa thức A cho đơn thức B

(Trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), Ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

76. Thực hiện các phép tính chia :

a) x²⁴ : (–x)¹⁶                                                              b) x⁵⁸¹ : (–x)⁴⁶⁹

c) 13x⁴y⁸ : (6x²y⁵)                                       d) (x⁸y⁷) : (x⁴y)

77. Làm tính chia :

a) (–12x⁴ + 8x³ – 20x²) : (4x²)                    b) (24x⁵y³ – 30x⁴y² + 42x³y) : (–6x²y)

c) (15x²y⁴ + 7x³y⁵ – 6x⁴y⁶) : (–x²y⁴).

78. Làm tính chia :

a) [7(x – y)⁵ + 6(x – y)⁴ – 3(x – y)²] : (x – y)²

b) [5(x – y)⁴ – 3(x – y)³ + 2(x – y)²] : (y – x)²

c) [14(x – y)⁶ + 4(x – y)⁵ – 3(x – y)³] : (y – x)³

79. Tính giá trị của biểu thức :

a) (–15x⁶y⁵) : (3x⁵y⁴) tại x = 2; y = –9876

b) (8x⁴y⁵ – 12x³y⁴) : (–4x³y⁴) tại x = –896543; y = 5.

80. Tìm đa thức M biết :

a) 5x³.M = 25x⁶ – 30x⁵ + 10x³

b) M.(–2x⁴y) = –6x⁸y⁵ + 18x⁶y² + 2x⁴y.

81. Chứng minh rằng (2x⁶y³ + 4x⁸y³ + x⁴y³) : (x⁴y³) dương với mọi x, y khác 0.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

82. Chọn câu trả lời đúng :

Làm tính chia (–6x⁴ + 8x³ – 4x²) : (2x²) được kết quả là ;

A. –4x² + 6x – 2                                                                                         B. 3x² + 4x – 2

C. –3x² + 4x – 2                                                                                         D. –12x² + 16x – 8

83. Đúng ghi Đ, sai ghi S :

a) (–6x²y + 9x³y³) : (–3x²y) = 2 – 3xy        c

b) (5x⁶y³ – 7x⁹y³) : (5x³y³) = x² – 7x³         c

& BÀI TẬP NÂNG CAO

84. Thực hiện các phép tính chia :

a) (–x)²⁰¹⁰ : x¹⁹⁹⁹                                                                        b) x¹⁴⁸⁹ : (–x)¹²³⁷

c) x^{n + 19} : x¹⁴ (n Î N)                                              d) x⁹⁴ : x¹⁷ : x⁶⁵

e) (x⁴⁵y⁸) : (x²⁴y²) : (x³y⁵)                                        f) (–6x⁴y⁸) : (–3x²y) : (xy³).

85. Làm tính chia :

a) (–24x⁴y³ + x⁶y² – x⁸y) : (x⁴y)                  b) (x⁸y⁷ – x⁷y⁶ + x⁶y⁵) : (x⁵y⁴).

86. Tìm đơn thức A, biết :

a) A. (8x⁴y) = –10x⁵y⁸                                            b) (–4x²y⁵).A – x⁶y¹⁷.

87. Tìm đa thức B, biết :

a) 6x⁴.B = 24x⁹ – 30x⁸ + x⁵                                b) B.(–2,5x³y²) = 5x⁶y⁴ + 7,5x⁵y³ – 10x³y².

88. Tìm m, n Î N để phép chia sau đây là phép chia hết : (4x⁶y⁷ – 10x⁵y⁶ + 8x⁴y⁵) : (–4x^myⁿ).

89. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau dương với mọi giá trị của biến x, y (x ¹ 0, y ¹ 0)

(7x⁴y³ – 6x²y⁶ + 2x²y³) : (–2x²y³) + 8(x + 1)(x – 1) + 10.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

90. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, biết rằng
(1 + )(1 + )(1 + ) = 8.

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Trường THCS Nguyễn Du, Quận 1 –  năm học 1999 – 2000).

§7. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

Cho hai đa thức A và B (B ¹ 0) của cùng một biến. Chia đa thức A cho đa thức B là tìm hai đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, Trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (A là đa thức bị chia, B là đa thức chia, Q là đa thức thương, r là đa thức dư).

Nếu A và B cho trước thì cặp đa thức Q, R luôn luôn tồn tại và duy nhất.

Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

91. Sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia :

a) (28x – 9x² + x³ – 30) : (x – 3)                             b) (–8x³ – 7x² + 3x⁴ + 6x – 4) : (3x² + 1 – 2x)

c) (–8x² + 2x³ – 10 + 16x) : (x² + 5 – 3x)               d) (–4x² + x³ + 11x – 2) : (x² + 7 – 2x).

92. Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia.

a) (x² – 10xy + 25y²) : (x – 5y)                               b) (4x⁴ – y²) : (2x² + y)

c) (27x³ + 8) : (3x + 2)                                            d) (4x² – 12xy + 9y²) : (3y – 2x).

93. Tính nhanh :

a) (x² – 100) : (x + 10)                                            b) (27x³ + 1) : (9x² – 3x + 1)

c) (x² + 6x + 9) : (3 + x)                                         d) (x² + 16 – 8x) : (4 – x).

94. Cho hai đa thức A = 6x³ – 17x² + 8x – 5 và B = 6x² – 5x + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.

95. a) Tìm số a để đa thức 2x³ – 4x² + 6x + a chia hết cho đa thức x + 2.

b) Tìm số b để đa thức 5x³ + 2x² – 7x + b chia hết cho đa thức x – 3.

96. a) Tìm n Î Z để giá trị đa thức 6n² – n + 5 chia hết cho giá trị của đa thức 2n + 1.

b) Tìm m Î Z để giá trị của đa thức 10m² + 3m – 17 chia hết cho giá trị của đa thức 2m – 1.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

97. Chọn câu trả lời đúng :

Phép chia x³ + x² – 4x + 7 cho x² – 2x + 5 được đa thức dư là :

A. 3x – 7                                        B. –3x – 8                               C. –15x + 7                 D. –3x – 7.

98. Làm tính chia :

a) (7x³ – 7x + 42) : (x² – 2x + 3)                            b) (x⁴ – 3x³ + 5x – 3) : (x² – 2x + 1)

99. Tính nhanh :

a) (x⁶ + 2x³y² + y⁴) : (x³ + y²)                                 b) (625x⁴ – 1) : [(5x + 1)(5x – 1)].

100. Tìm hai số a, b để đa thức 2x⁴ – 3x³ – 3x² + ax + b chia hết cho đa thức 2x² – 3x + 1.

101. Xác định đa thức dư của phép chia đa thức x⁴⁹ + x¹³ – x⁸ cho đa thức x² – 1.

102. a) Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức n³ + 6n² – 7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 2.

b) Tìm các số nguyên m để giá trị của biểu thức m³ + 4m + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức m² + 3.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

103. Cho A(x) = 8x² – 26x + m, B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho B(x).

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9, TP. Hồ Chí Minh, năm học 1997 – 1998)

104. Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhị thức x – 1, x – 2, x – 3 đều có số dư là 6 và tại x = –1 thì đa thức nhận giá trị tương ứng là – 18.

(Đề thi học bổng trường THCS Nguyễn Du, Quận 1, TP. Hồ Chí Minh, năm học 1994 – 1995)

105. Tìm mọi số nguyên x sao cho x³ – 2x² + 7x – 7 chia hết cho x² + 3.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2008 – 2009)