Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường cao BE,CF cắt nhau tại H và (O) tại P và Q , đường thẳng PQcắt AB, AC tại M,N Và tia CB kéo dài tại K
a) Cm:tứ giác AEHF nội tiếp và PQ // EF
b) Cm: 4 điểm B,M,N,C thuộc đường tròn
c) Cm KQ.KP=KM.KN
d) Gọi I là trung điểm BC và đường tròn tâm D ngoại tiếp tam giác HEF cắt (O) tại S .Cm: S,H,I thẳng hàng
giải:
a. Chứng minh AEHF nội tiếp và PQ//EF: 
AFHE nội tiếp vì có 2 góc vuông đối nhau. (tổng 2 góc đối bằng 180)
Phần chứng minh tiếp theo mấy em xem hình phía dưới nhé.
Tứ giác BCEF nội tiếp (vì có 2 góc vuông cùng nhìn cạnh BC)
Suy ra: 
(góc nội tiếp cùng chắn cung EC-đường tròn màu hồng)
Mà: 
(góc nội tiếp cùng chắn cung PC-đường tròn màu xanh)
Vậy: : 
=>EF//PQ (do có 2 góc đồng vị bằng nhau)
b. chứng minh B,M,N,C cùng thuộc 1 đường tròn hay nói cách khác là tứ giác BCNM nội tiếp.
Tứ giác BCEF nội tiếp (cmt-đường tròn màu hồng ở trên đó)
=>
Mà: 
(do EF//PQ)
Suy ra: 
Vậy tứ giác BCNM nội tiếp (có góc trong bằng góc ngoài đối diện)
=> B,M,N,C cùng thuộc 1 đường tròn.
c. chứng minh KP.KQ=KM.KN:
Ta có: KBQ
KPC (tự chứng minh-cái này dể)
=>KB.KC=KP.KQ (1)
Chứng minh tương tự: KBMKNC
=>KB.KC=KM.KN (2)
Từ (1) và (2) suy ra: KP.KQ=KM.KN
d. chứng minh S,H,I thẳng hang:
Vẽ đường kính AT của (O)
ta có ASFH nội tiếp (giả thuyết)
=>ASH=90=>SH 
SA
ta cũng có ST SA (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn –đường tròn màu xanh)
=>S,H,T thẳng hàng (tiên đề Eulicd) (I)
Xét tứ giác BHCT, ta có:
ü CTAC (do tam giác ATC vuông tại C)
ü BHAC (do BE là đường cao của tam giác ABC)
=>CT//BH (@)
ü CHBA (do CF là đường caocua3 tam giác ABC)
ü BTBA (do tam giác ABT vuông tại B)
=>CH//BT (@@)
Từ (@) và (@@) suy ra: BHCT là hình bình hành)
=>BC cắt HT tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I là trung điểm của BC
=>BC cắt HT tại I, hay nói cách khác là H,I,T thẳng hàng. (II)
Từ (I) và (II) suy ra: S,H,I,T thẳng hàng.
Thu gọn lại: S,H,I thẳng hàng.
Comments
Post a Comment