GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG
(Xét trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy)
LTS. Theo quan sát, tôi nhận thấy nhiều bạn học sinh còn lúng túng trong cách giải quyết các bài toán về góc trong hình học giải tích phẳng. Bài viết này hỗ trợ một phần nhỏ về mặt kỹ thuật, giúp các bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán loại này.
(Nguyễn Thành Bửu – trường THPT Tây Ninh)
1. Nhắc lại một số kiến thức trọng tâm.
a) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho 
với
thì:
b) Góc giữa hai vectơ
· Cho hai vectơ 
và
khác
.
Từ một điểm O, vẽ 
và
.
Góc 
được
gọi là góc giữa hai vectơ và
,
ký hiệu là 
.
· Nếu gọi 
là
số đo của góc giữa hai vectơ và
thì
.
c) Góc giữa hai đường thẳng
· Hai đường thẳng 
và
cắt
nhau tạo thành bốn góc. Góc nhỏ nhất trong bốn
góc đó được gọi là góc giữa hai
đường thẳng và
,
ký hiệu là 
.
· Gọi
là
số đo của góc thì
(Khi
hay
thì
qui ước 
).
d) Kết quả
· Cho hai đường thẳng và
có
VTPT lần lượt là 
.
Gọi số
đo của góc thì:
· Cho hai đường thẳng và
có
VTCP lần lượt là 
.
Gọi số
đo của góc thì:
2. Một số ví dụ.
a) Bài toán 1.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có
và phương trình đường thẳng BC là 
.
Viết phương trình các đường thẳng AB và
AC.
Các bạn hãy quan sát ba cách giải sau:
 |
Cách 1:
- Do 
đi
qua nên
phương trình đường thẳng có
dạng: 
(với
).
Suy ra 
là
VTPT của .
Mặt khác 
là
VTPT của BC.
- Từ giả thiết tạo
với BC một góc 
,
ta có: 
Do
đó: 
.
Với
:
cho 
thì
,
khi đó phương trình đường thẳng là
Với
:
cho 
thì
,
khi đó phương trình đường thẳng là
- Không mất tính tổng quát, nếu
chọn phương trình đường thẳng AB là thì
phương trình đường thẳng AC là và
ngược lại.
Cách 2:
- Đường thẳng đi
qua A và có hệ số góc k là: 
.
Suy ra 
là
VTPT của .
Mặt khác là
VTPT của BC.
- Từ giả thiết tạo
với BC một góc ,
ta có: .
Do
đó: 
.
Với
:
phương trình đường thẳng là
.
Với
:
phương trình đường thẳng là
.
- Không mất tính tổng quát, nếu
chọn phương trình đường thẳng AB là thì
phương trình đường thẳng AC là và
ngược lại.
Cách 3:
- Phương trình đường
thẳng (D) đi qua A và vuông góc BC là 
.
- Gọi I là hình chiếu của A trên BC.
Từ phương trình của (D) và BC ta tìm được
.
- Đỉnh B của tam giác ABC thoả
mãn điều kiện: 
Từ 
,
ta có 
.
Thay vào hệ thức còn lại và bình phương hai
vế, ta được
Với 
thì
,
khi đó phương trình đường thẳng AB là .
Với
thì
,
khi đó phương trình đường thẳng AB là .
Do vai trò của B và C như nhau nên
nếu chọn phương trình đường thẳng
AB là thì
phương trình đường thẳng AC là và
ngược lại.
Bình luận
1) Các bạn cần chú trọng rèn kỹ năng sử dụng kỹ thuật tìm hệ số a, b của x, y trong phương trình đường thẳng ở cách 1, vì kỹ thuật này an toàn và được sử dụng nhiều trong các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách.
2) So sách cách 1 và cách 2, ta thấy giải bằng cách 2 đơn giản hơn so với cách 1. Tuy nhiên cách 2 là cách giải chưa chặt chẽ. Ở một số bài toán, khi làm các bạn sẽ bị mất nghiệm. Nguyên do là ở ví dụ trên, cả hai đường thẳng cần viết phương trình đều có hệ số góc, nên trong kết quả luôn xuất hiện chúng. Nếu một trong hai đường thẳng cần tìm vuông góc với trục x’Ox (đường thẳng cần tìm này không có hệ số góc) thì trong cách giải 2, sẽ không xuất hiện chúng. Các bạn có thể giải các bài toán sau bằng cách 2 để thấy điều đó:
a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có
và phương trình đường thẳng BC là 
.
Viết phương trình các đường thẳng AB và
AC.
b) Viết phương trình
đường thẳng đi
qua 
và
tiếp xúc với đường tròn (C) tâm 
,
bán kính 
.
Cách khắc phục: xét đủ hai trường hợp đường thẳng cần tìm vuông góc Ox và không vuông góc Ox.
3) Cách giải 3 là cách giải được sử dụng nhiều (tuy ở bài này có hơi rườm rà) trong các bài toán thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng.
Các bài toán tương tự
Bài 1. Viết phương trình các
đường thẳng chứa cạnh của hình vuông
ABCD biết 
,
.
Bài 2. Cho tam giác đều ABC có đỉnh 
,
phương trình 
.
Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.
Bài 3. Cho điểm 
và
đường thẳng 
.
Viết phương trình đường thẳng 
đi
qua A và hợp với đường
thẳng D một góc
sao cho 
.
Bài 4.
(Khối B/2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm 
,
phương trình đường thẳng AB là 
và
.
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết
rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Hướng
dẫn: Từ giả
thiết ta có tam giác IAB cân tại I và 
.
Bài toán trở thành: Viết phương trình
đường thẳng đi qua I và hợp với AB
một góc trong
đó 
.
(Các bạn cũng có thể áp dụng cách giải 3 của
bài toán 1 để giải).
Bài 5. (Khối
A/2012) Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung
điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh
CD sao cho 
.
Giả sử 
và
đường thẳng AN có phương trình 
.
Tìm toạ độ điểm A.
Hướng
dẫn: 
Cách 1. Viết phương trình
đường thẳng (D) đi qua M và hợp với AN
một góc 450, ta được phương trình
của (D) là 
hoặc
.
Kết hợp từng phương trình trên với
phương trình AN để tìm A.
Cách 2. Gọi I là hình chiếu của M trên AN thì tam giác AIM vuông cân tại I.
Ta
có 
(*)
Do
nên
.
Từ (*) được:
.
Vậy 
hoặc
.
b) Bài
toán 2. Cho tam giác ABC cân tại A có 
,
.
Viết phương trình đường thẳng AC
biết nó đi qua điểm 
.
 |
Giải
Đường
thẳng AB nhận 
làm
VTPT.
Đường
thẳng BC nhận 
làm
VTPT.
Gọi
(với
)
là VTPT của AC (
)
Vì
tam giác ABC cân tại A nên 
(do
)
.
· Với 
:
chọn thì
.
Trường hợp này bị loại vì khi đó 
.
· Với 
:
chọn thì
.
Suy ra 
và
phương trình đường thẳng AC là 
.
Bài tập tương tự
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A có 
,
.
Viết phương trình đường thẳng AC
biết nó đi qua điểm 
.
Bài 2. (Khối D/2012) Cho hình chữ nhật ABCD. Các
đường thẳng AC và AD lần lượt có
phương trình là 
và
;
đường thẳng BD đi qua điểm 
.
Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ
nhật ABCD.
Hướng dẫn: Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thì tam giác IAD cân tại I. Áp dụng cách giải của bài toán 2, các bạn tìm được phương trình đường thẳng BD. Từ đó suy ra toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
----------- HẾT -----------