Home Toán Tìm SỐ Hạn Tổng Quát Của Dãy Số

Tìm SỐ Hạn Tổng Quát Của Dãy Số

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG Chöông II : Soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá

Soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá

Chuyeân ñeà1: Aùp duïng sai phaân ñeå tìm soá haïng toång quaùt.

1. Ñònh nghóa : Cho y = f(x) xaùc ñònh treân taäp X , h > 0 haèng soá . Gia soá goïi laø sai phaân caáp 1 cuûa f(x) taïi ñieåm x .

ñöôïc goïi laø sai phaân caáp2 cuûa f(x) taïi x

Töông töï, ñöôïc goïi laø sai phaân caáp k cuûa f taïi x.

* Ñònh nghóa : Phöông trình sai phaân la moätø heä thöùc giöõa sai phaân caùc caáp :

(1) ( y ñöôïc xem laø sai phaân caáp 0 )

· Chuù yù : (1) coù theå vieát : y_n+k = a_n+k-1 + a₂ y_n+k-2 + … + a_ky_n+ f(n)

Neáu f(n) = 0 thì (1) goïi laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát

Neáu f(n) thì (1) goïi laø phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát .

2. Tính chaát :

T/c1: Neáu ñeàu laø nghieäm cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát : y_n+k= a₁y_n+k-1 + …+ a_ky_n (2)

Thì cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (2).

* Baây giôø ta xeùt phöông trình (2) vôùi caùc heä soá haèng a₁, a₂ ,…, a_k. Khi ñoù nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát (2) ñöôïc tìm döôùi daïng y_n= . Thay bieåu y_n= vaøo (2) vaø sau khi öôùc löôïc cho , ta ñöôïc phöông trình (3)

Phöông trình (3) ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa phöông trình sai phaân (2) . Nghieäm cuûa phöông trình (1) vaø (2) phuï thuoäc vaøo nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng (3).

T/c2: Neáu phöông trình ñaëc tröng (3) coù k nghieäm thöïc phaân bieät thì y laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (2).

T/c3: Neáu phöông trình ñaëc tröng (3) coù nghieäm thöïc boäi s thì thay cho s nghieäm öùng vôùi caùc ñoù ta laáy : (c₁ + c₂n + c₃n² + …+ c_sn^s-1) ⁿ trong ñoù caùc c₁, c₂ , …, c_slaø caùc haèng soá .Nghóa laø neáu (3) coù caùc nghieäm boäi s vaø caùc nghieäm coøn laïi ñeàu thöïc vaø ñôn thì :

T/c4: Neáu ptñt (3) coù nghieäm phöùc ñôn thì

T/c5: Neáu ptñt (3) coù nghieäm phöùc boäi s thì

Ñònh lyù : Neáu laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát vaø y laø nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát thì nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát ñoù coù daïng : .

Baûng moät soá daïng nghieäm rieâng.

f(n) Nghieäm cuûa PT ñaëc tröng Daïng nghieäm rieâng

+ Nghieäm

f(n) = + Nghieäm = 1 boäi s .

+ Neáu khoâng laø nghieäm cuûa ptñt

f(n) = + Neáu laø nghieäm boäi s cuûa ptñt

+ Neáukhoâng laø nghieäm cuûa ptñt

f(n) = P_m(n) ⁿ + Neáu laø nghieäm boäi s cuûa ptñt

+ Neáu khoâng laø nghieäm cuûa ptñt .

f(n) = a.cos+ .

b. + Neáu laø nghieäm boäi s cuûa ptñt

f(n) = p_m(n) + Neáu khoâng laø nghieäm

+ cuûa ptñt

+ Neáu laø nghieäm boäi s

cuûa ptñt

f(n) =

+ + Neáu khoâng laø nghieäm

cuûa ptñt

+ Neáu laø nghieäm boäi s

cuûa ptñt

3. Caùc ví duï :

Ví duï 1: Daõy soá (u_n) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :

(1)

Haõy tìm u_{n .}

Giaûi:

Tröôùc heát tìm nghieäm toång quaùt cuûa pt sai phaân thuaàn nhaát:

u_n+2 +2u_n+1 – 8u_n = 0 (2)

vaø coù pt ñaëc tröng laø : hay

Nghieäm toång quaùt pt (2) laø : u_n = c₁2ⁿ + c₂(-4)ⁿ

Ta goïi u^*= a.5ⁿ nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát (1) . Khi ñoù ta coù : a.5ⁿ⁺² + 2a.5ⁿ⁺¹ – 8a.5ⁿ = 27.5ⁿ

Theo ñònh lyù nghieäm toång quaùt cuûa ph (1) laø : u_n= c₁2ⁿ+ c₂(-4)ⁿ + 5ⁿ

ÖÙng vôùi n = 1 , n =2 , ta ñöôïc : hay c₁= -3, c₂ = 2.

Vaäy u_n = 5ⁿ + 2(-4)ⁿ – 3.2ⁿ.

Ví duï 2:

Cho daõy (u_n) thoaû maõn

Chöùng minh raèng : ( u_n + 4 ) vôùi moïi soá n laø soá nguyeân toá :

Giaûi :

Ñaët x_n = u_n + 3 , ta ñöôïc : x₁ = -1 , x₂ = 13 , x_n+2 = -x_n+1 + 6x_n

Xeùt phöông trình ñaëc tröng :

Ta ñöôïc : x_n= .

Trong ñoù

Do ñoù x_n = (-3)ⁿ + 2ⁿ

Vôùi n laø soá nguyeân toá

. ( Ucbt).

Ví duï 3 : Cho daõy soá (u_n) xaùc ñònh nhö sau :

Chöùng minh raèng neáu P laø soá nguyeân toá thì .

Giaûi: Töø heä thöùc u_n+1 = 7u_n-1 – 6u_n-2

Ta coù phöông trình ñaëc tröng : x³ – 7x + 6 = 0 coù caùc nghieäm x₁ = 1 , x₂ = 2 , x₃ = -3

Neân ta coù nghieäm toång quaùt u_n = a(1)ⁿ + b(2)ⁿ + c(-3)ⁿ (1).

Töø giaû thieát u₁ = 1 , u₂ =14 , u₃ = -18, thay vaøo (1) ta coù heä phöông trình sau ñaây xaùc ñònh a , b , c

Vaäy daõy soá (u_n) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : u_n = 1 + 2ⁿ + (-3)ⁿ , n = 1 , 2 ,…,

Vì p laø soá nguyeân toá , neân theo ñònh lyù nhoû Fecma , ta coù :

Vaäy suy ra u_p = 1 + 2^p + (-3)^p .

Ví duï 4 : Tìm daõy soá (u_n) , bieát raèng :

Giaûi : Phöông trình ñaëc tröng cuûa daõy coù daïng :

x³ - 4x² + 5x – 2 =0 hay (x – 1)²(x – 2) = 0 . Töø ñoù x_1,2 = 1 boäi 2 , x₃ = 2

Bôûi vaäy u_n = c₁ + c₂n + c₃2ⁿ khi n = 0 , 1 , 2 ta coù heä

Vaäy u_n = -1 – n + 2ⁿ .

Ví duï 5 : Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát sau :

x_n+7 – x_n+6 + x_n+5 - x_n+4 – x_n+3 + x_n+2 –x_n+1 + x_n = 0

Giaûi:

Phöông trình sai phaân ñaõ cho coù ptñt laø :

(1)

Phöông trình (1) coù nghieäm laø :

Do ñoù ta coù :

Neáu ta bieát 7 giaù trò ban ñaàu thì ta seõ tìm ñöôïc c₁, c₂ , …, c₇ baèng caùch giaûi heä phöông trình goàm 7 phöong trình vaø 7 aån .

Ví duï 6:

Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát sau ñaây :

Giaûi : Phöông trình (1) töông ñöông vôùi

(2)

Phöông trình ñaëc tröng coù daïng : + 4 = 0

Do laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng.

Theo baûng , nghieäm rieâng coù theå vieát döôùi daïng :

Thay vaøo phöông trình (2) ta ñöôïc :

4n.2ⁿ

Khai trieån vaø caân baèng heä soá ta ñöôïc :

Do vaäy : (*)

Do Ptñt chæ coù hai nghieäm phöùc lieân hôïp , neân theo tính chaát 5 ta coù :

(**)

Do neân töø (*) vaø (**) ta coù :

(***)

Do neân thay vaøo (***) ta ñöôïc a = b = 1 suy ra x_n.

Baøi taäp : Tìm soá haïng toång quaùt cuûa caùc daõy sau .

1. u₁ = 1, u_n+1 = u_n +2n² .

2. u_o = 0 ; u₁ = 5 ; u_n-2 = 2u_n-1 – u_n + 6n + 4.

3. u₀= 0 ; u₁ = 5 ; u_n-2= 3u_n-1 – 2u_n + 4.3ⁿ.

4. u₀ = -1 ; u₁ = 2 ; u_n-2 = 5u_n-1 –6u_n + (8n + 11).2^n-1

5. u₀= 1 ; u₁ = 0 ; u_n-2 = 2u_n+1 – u_n + sin n.

Chuyeân ñeà 2 : Moät soá phöông phaùp tìm soá haïng toång quaùt

Vaán ñeà1 : Daõy qui naïp tuyeán tính baäc nhaát .

Baøi toaùn daïng a.u_n+1 + b.u_n = f(n) , trong ñoù f(n) laø haøm theo n

Baøi toaùn 1. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy

Ví duï 1: Cho daõy (u_n) xaùc ñònh bôûi

Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy.

Giaûi :

Xeùt a = 1 . Ta coù laø caáp soá coäng d = b

Vaäy u_n = c + (n –1)b

Xeùt . Ta coù theå ñöa daõy veà CSN coâng sai a

Thaät vaäy , ñaët v_n = u_n + h ( h haèng soá )

Vaø v_n+1= av_n

 Ta coù v₁= c + h = Vaäy

Chuù yù a = 0 thì u_n = b

Ví duï 2. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy :

Giaûi : Ta coù

Ñaët . Daõy ñaõ cho ñöa veà daïng

Xeùt a = 1 . Ta coù v_n = c + (n -1) b

Xeùt a ( theo ví duï 1)

Vaäy

Ví duï 3 . Tìm u_n cuûa daõy sau :

Giaûi. Ta coù u_n+1 =

Laáy logarit cô soá e caû hai veá ta ñöôïc lnu_n+1 = alnu_n +

Ñaët v_n = lnu_n , b =

Daõy ñaõ cho trôû thaønh

Xeùt a =1 . Ta coù : v_n= c + (n – 1)b = ln

Suy ra

Xeùt . Ta coù v_n =

Baøi toaùn 2. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy

Vôùi f(n) laø ña thöùc theo n .

*Phöông phaùp : Ta coù theå ñöa veà baøi toaùn 1 baèng caùch ñaët v_n = u_n + g(n)

trong ñoù v_n+1 = av_n vaø g(n) laø ña thöùc thoaû :

Neáu a = 1 thì g(n) = n g^’(n) trong g^’(n) ña thöùc cuøng baäc f(n).

Neáu a thì g(n) cuøng baäc vôùi f(n) .

Baèng caùch ñoàng nhaát thöùc suy ra g(n).

Ví duï 1. Tìm soá haïng toång quaùt u_n bieát

Giaûi. Ta coù a = 1 , neân ta choïn g(n) = n(bn + c)

Ñaët v_n = u_n + g(n) vaø thoaû v_n+1 = av_n( a = 1)

Töø ñoù suy ra u_n+1 + g(n+1) = u_n + g(n)

do ñoù g(n) = -n(n – 1). Ta coù v_n+1 = v_n suy ra v_n = C ( haèng soá)

Suy ra u_n = C - g(n) = C + n(n – 1) . Töø u₁ = 2 suy ra C = 2.

Vaäy u_n = n² – n + 2 .

Ví duï 2. Tìm soá haïng toång quaùt u_n bieát

Giaûi . Ta coù A = 3 , neân ta choïn g(n) = an² + bn + c.

Ñaët v_n = u_n + g(n) vaø thoaû v_n+1 = 3v_n.

Töông töï nhö ví duï 1 , ñoàng nhaát thöùc suy ra

Neân . Töø ñoù suy ra u_n

Vaäy

Ví duï 3. Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy bieát :

Giaûi . Ta coù

Laáy logarit cô soá a hai veá ta ñöôïc

log_au₁= 5

Ñaët v_n = log_au_n suy ra v_n+1 = 3v_n + n² +1, v₁ = 5

Theo ví duï hai ta ñöôïc v_n = 3^n-1 +

Vaäy u_n = .

Baøi toaùn 3 Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy

Phöông phaùp : Ta coù theå ñöa baøi toaùn veà daïng baøi toaùn 1 baèng caùch :

Ñaët v_n = u_n + g(n) vôùi v_n+1 = av_n , ñoàng thôøi g(n) thoaû :

Neáu

Neáu a =

Theá vaøo bieåu thöùc (v_n) roài ñoàng nhaát thöùc heä soá , suy ra g(n) .

Töø ñoù ta coù u_n.

Ví duï 1 Cho daõy (u_n) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :

Tìm soá haïng toång quaùt u_n cuûa daõy .

Giaûi . Ta coù

Laáy logarit cô soá a hai veá ta ñöôïc log_au_n+1 = 3log_au_n + 2ⁿ (1)

Neáu ñaët v_n= log_au_n ta seõ ñöôïc :

Ñaët w_n = v_n + A.2ⁿ .Theá vaøo w_n+1 = 3w_nta ñöôïc A = 1

W_n = b 3^n-1 suy ra v_n = b.3^n-1 – 2ⁿ maø v₁ = b – 2 = 1 neân b = 3

Töùc laø v_n = 3ⁿ – 2ⁿ . Vì v_n = log_au_n neân

Vaäy .

Ví duï 2. Cho daõy (u_n) ñöïôc xaùc ñònh nhö sau :

Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy .

Giaûi . Ta thaáy a = Neân ta ñaët g(n) = A.n.4ⁿ

Ñaët v_n+1= u_n + g(n) vôùi v_n+1 = 4.v_n

Do ñoù ta coù : u_n+1 + g(n+1) = 4 (u_n + g(n) )

Töø v_n+1 = 4v_n (1)

Do u₁=

Ví duï 3. Tìm soá haïng toång quaùt u_n cuûa daõy xaùc ñònh bôûi :

Giaûi . Töø

Do ñoù

Vaäy

Baøi taäp.

1) Tìm soá haïng toång quaùt u_n cuûa daõy

2) Cho daõy (u_n) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy .

3) Tìm soá haïng toång quaùt u_n cuûa daõy

4) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy

5) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy

6) Tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy

Vaán ñeà 2 : Moät soá baøi toaùn veà phöông trình daõy vôùi caëp chæ soá töï do

Khi gaëp phöông trình daõy vôùi caëp chæ soá töï do vôùi caùc thay theá chæ soá ta ñöa veà phöông trình sai phaân quen bieát . Vieäc thay theá naøy coù theå ñöa veà phöông trình daõy khoâng töông ñöông . Do ñoù khi giaûi xong ñaùp soá caàn phaûi thöû laïi trong moät tröôøng hôïp.

Ví duï 1. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (x_n) thoaû maõn :

Giaûi :

Töø Pt (1) , ta suy ra : x_n+1 = x₁ + x_n +n

hay x_n-1 – x_n = a + n (2) ñaây laø phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát caáp 1 ; phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm (ñôn)

Ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát vaø nghieäm rieâng laø :

Thay ôû ñaây vaøo (2) ta ñöôïc (3)

Töø ñoù suy ra nghieäm toång quaùt cuûa (1) laø :

Thay c = 0 vaøo (3) ta ñöôïc :

Thöû laïi ta thaáy keát quaû naøy thoaû maõn ñieàu kieän ban ñaàu .

Ví duï 2:

Toàn taïi hay khoâng toàn taïi daõy (x_n) maø ta coù :

x_m+n = x_m + x_n + m+ n. (1)

Giaûi : Giaû söû x₁ = a , theo ví duï 1 ta coù

Thöû laïi : x₁ = a neân ta coù tieáp : x₂ = x₁ + x₁ +1 + 1 = 2a +2

x₃ = x₂ + x₁ + 3 = 2a +2 + a +3 = 3a + 5

x₄= x₃ + x₁ + 4 = 3a + 5 + a + 4 (2)

x₄ = x ₂ + x₂+ 4 = 2(2a + 2) + 4 = 4a + 8 (3)

Do 4a + 9 neân töø (2) vaø (3) ta coù x₄ voâ lyù . Vaäy khoâng toân taïi daõy (x_n) thoaû maõn ñieàu kieän cuûa baøi toaùn .

Ví duï 3: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (x_n) neáu bieát :

Giaûi : Hieån nhieân ta coù : (2)

Töø (1) vaø (2) ta coù : x_n = (3)

Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (3) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu

Thöû laïi ta thaáy keát quaû naøy hoaøn toaøn ñuùng.

Ví duï 4 : Xaùc ñònh daõy soá (x_n) neáu bieát : x_n.m = x_m.x_n (1)

Giaûi :

Ta coù : x_m = x_m.1 = x_m.x₁ suy ra x₁ = 1

Giaû söû coù theå nhaän giaù trò tuy yù . Giaû söû . Khi ñoù ta coù :

Ñeå cho goïn ta kyù hieäu (2)

Ta thaáy phöông trình (2) laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát .

Do ñoù (3)

Baøi taäp :

1. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (x_n) neáu bieát :

Ñs : x_n =

2. Xaùc soá khoâng aâm x₀ , x₁ , x₂ , … thoaû maõn

Ñs : x_n = n²

3. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (x_n) neáu bieát

Ñs : x_n= (-1)ⁿ

4. Tìm daõy soá (x_n) sao cho :

Ñs : x_n =

5. Xaùc ñònh daõy soá (x_n) thoaû maõn :

Ñs : x_n =

6. Xaùc ñònh daõy soá (x_n) thoaû maõn :

Ñs : x_n=

7. Xaùc ñònh daõy soá (x_n) thoaû maõn :

Ñs : x_n = 2ⁿ + 2^-n

Vaán ñeà 3: Moät soá phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù

Ví duï1:

Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (x_n) neáu bieát :

Giaûi : Ta coù :

Pt (1)

Töø (2) ta thay (n+1) bôûi n ta cuõng coù :

Tröø töøng veá cuûa (2) vaø (3) ta ñöôïc :

Giaûi phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (4) bieát

Ví duï 2: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (x_n) neáu bieát :

Giaûi : Pt (*)

Töø (1) ta thay n bôûi (n – 1) ta ñöôïc :

Tröø töøng veá cuûa (1) vaø (2) ta ñöôïc :

Do ñoù : x_n = t (x_n+1+ x_n-1). Ñaây laø phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát heä soá haèng coù phöông trình ñaëc tröng laø t ñaõ bieát caùch giaûi.

Baøi taäp :

1. Xaùc ñònh daõy soá (x_n) neáu bieát :

(*)

( Hd: ñöa phöông trình (*) veà phöông trình bx_n = a(x_n+1 + x_n-1) )

2. Cho daõy soá (x_n) xaùc ñònh bôûi

Haõy xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa x_n.

Chöùng minh raèng soá coù theå bieåu dieãn thaønh toång bình phöông cuûa 3 soá nguyeân tieáp

3. Xaùc ñònh daõy soá (x_n) neáu bieát :

Ñs : x

4. Xaùc ñònh daõy soá (x_n) neáu bieát :

Ñs :

5. Cho daõy soá (x_n) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :

Haõy xaùc ñònh daõy soá (x_n).

6. Cho daõy soá (x_n) laø daõy thöïc xaùc ñònh bôûi :

Chöùng minh raèng :

( Hd : Ñöa pt (*) veà daïng x_n+4 = 4x_n+2 – x_n . Vì (x₁,x₂,x₃,x₄) neân heä thöùc treân chæ ra raèng ( baèng qui naïp theo n)).

Vaán ñeà 4 : Phöông phaùp ñoåi daõy

Ñeå xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá ta thöôøng ñöa phöông trình cuûa daõy veà phöông trình sai phaân ñaõ bieát caùch giaûi hoaëc ñöa ñeán nhöng phöông trình daõy deã giaûi hôn baèng caùch ñaëc daõy soá phuï coøn goïi laø phöông phaùp ñoåi daõy.

Ñeå tìm nhöõng caùch ñaëc daõy soá phuï ta thöôøng nghòch ñaûo , logarit hoaù , muõ hoaù, ….caùc bieåu thöùc ban ñaàu . Sau ñaây laø moät vaøi ví duï vaø baøi taäp minh hoaï.

Ví duï 1: Haõy tìm taát caû caùc giaù trò thöïc a ñeå

x₁ = a ; (1) , xaùc ñònh moät daõy ,

haõy tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá .

Giaûi:

Ta coù (1) (2)

Ñaët (3)

Phöông trình (3) ñaõ bieát caùch giaûi vaø giaûi ra ta ñöôïc : (4)

Töø (*) vaø (4) ta coù : (5)

Ta phaûi tìm giaù trò cuûa a sao cho . Nghóa laø töø (5) ta caàn phaûi coù :

Do ñoù , khi xaùc ñònh moät daõy vaø soá haïng toång quaùt cuûa daõy laø : .

Ví duï 2: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (x_n) neáu bieát :

Giaûi : Ta coù ph (1)

Ñaët y_n = x_n + b khi ñoù ta coù (2) phöông trình naøy chính laø phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù ñaõ bieát caùch giaûi ( ví duï 2 ) .

Ví duï 3 :

Tìm (x_n) bieát (1)

Trong ñoù :

Giaûi. Ta coù : (1) (2)

Ñaët . Khi ñoù ta coù (2) (3)

Phöông trình (3) laø phöông trình sai phaân töï tuyeán tính hoaù daïng 1 maø ta ñaõ bieát caùch giaûi .

Ví duï 4 :

Xaùc ñònh daõy soá (x_n) bieát :

Trong ñoù : g(0)

Giaûi . Ñaët daõy phuï : (2)

Khi ñoù ta coù

(3)

Töø ñaúng thöùc (3) ta coù caùc ñaúng thöùc sau :

; ;….;

Coäng veá vôùi caùc ñaúng thöùc treân ta ñöôïc

Vaäy töø caùch ñaët aån phuï ban ñaàu (2) ta coù

, n > 1 (4)

Trong tröôøng hôïp ( c laø haèng soá )

Thì coâng thöùc (4) trôû thaønh , n > 1

Hay , n > 1 (5)

Nhö vaäy ta coù theå coïi vieäc giaûi pt(1) laø vieäc tính tích .

Ví duï 5 . Xaùc ñònh daõy soá (x_n) neáu bieát x₁= a > 0 , (1)

Trong ñoù f(n) > 0 . \

Giaûi . Ta coù (1) (2)

Ñaët daõy phuï (3) . Khi ñoù ta coù : (2) (4)

Laáy logarit hoaù hai veá cuûa phöông trình (4) theo cô soá e ta ñöôïc : lnv_n+1= k.lnv_n (5)

Ñaët daõy phuï u_n = lnv_n (6) . Khi ñoù ta coù : (5) (7)

trong ñoù c laø haèng soá . Töø (6) vaø (3) ta coù

do ñoù thay vaøo (7) ta ñöôïc

Vaäy (8)

Töø (3) , (6) , (8) ta coù

Vaäy

Ví duï 6. Xaùc daõy soá (x_n) neáu bieát

Giaûi . Ñaët daõy (2) .

Khi ñoù ta coù : (1)

(3)

Töø (2) ta coù : x₁ = 3y₁

Ta seõ chöùng minh qui naïp raèng

Thaät vaäy : ñuùng .

Giaû söû ñuùng ta chöùng minh

Töø (3) ta coù = 2 (ñpcm)

Thay y_n= vaøo (2) ta ñöôïc

Ví duï 7. Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy (x_n) neáu x_n thoaû

phöông trình daõy sau daây : (1*)

trong ñoù

Giaûi . Ta ñaët daõy phuï nhö sau : (1)

Khi ñoù ta coù : (1*) (2)

Ñaët chæ soá phuï nhö sau : (3)

Khi ñoù ta coù m thuoäc N vaø ta coù :

Pt (2) (4)

Ñaët daõy phuï (5)

Khi ñoù ta coù , pt (4) (6)

Ñaët daõy phuï (7)

Khi ñoù ta coù : (6) (8)

Do ñoù (9)

vôùi v_k tuyø yù vaø m =

Töø (1) , (3) , (5) ,(7) vaø (9) ta coù :

Trong ñoù v_k tuyø yù vaø

Ví duï 8 : Giaûi phöông trình sai phaân thöùc :

trong ñoù : p , q , r , s : laø caùc soá ñaõ bieát .

Giaûi . Giaû söû y_n , x_n : laø nghieäm cuûa heä phöông trình sai phaân

(1)

thì laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho .

Thaät vaäy , ta chöùng minh baèng qui naïp nhö sau :

( ñpcm)

Deã daøng giaûi (1) baèng caùch ñöa veà phöông trình sai phaân

thuaân nhaát

Ví duï 9 .

Haõy tìm soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá (x_n) thoaû maõn :

Giaûi. iNeáu d > 0 : Giaû söû y_n vaø z_nlaø nghieäm cuûa heä :

(I)

Thì laø nghieäm cuûa phöông trình. Chöùng minh töông töï nhö ôû ví duï 9.

Nhö vaäy ñeå giaûi phöông trình (1) caàn phaûi giaûi heä moät (I)

Ta coù : (I)

Coäng veá vôùi veá (2) vaø (3) ta ñöôïc :

Do ñoù : (4)

Töông töï tröø töøng veá cuûa (2) vaø (3) ta cuõng coù (5)

Töø (4) vaø (5) ta coù : (*)

Do neân töø (*) ta coù :

Thöû laïi baèng qui naïp cho thaáy keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû treân laø ñuùng.

ii) Neáu d < 0 Ñaët d = - k , k > 0 .G

Giaû söû y_n , z_n laø nghieäm cuûa heä

Thì laø nghieäm cuûa heä . Cm tuông töï ví duï 9.

Ta giaûi heä hai nhö sau : (II)

Ta laàn löôït coäng veá theo veá vaø tröø veá theo veá cuûa (6) vaø (7) ta coù :

Do neân töø (8) vaø (9) ta coù :

Vaán ñeà 5 : Phöông phaùp ñöa veà löôïng giaùc

vaø caùc haøm Hypebolic.

I)-Cô sôû lyù thuyeát :

Caùc haøm cosx , sinx coù mieàn giaù trò laø [-1 ; 1] neân khi chuyeån daõy soá veà daïng caùc haøm soá löôïng giaùc raùt haïn cheá . Chuù yù döa vaøo caùc daáu hieäu sau :

· x² + y² = k² : Ñaët

· |x|

· …….

Caùc haøm Hypebolic coù mieàn giaù trò roäng hôn coù theå giaûi quyeát ñöôïc haïng cheá treân vaø cuõng coù nhöõng tính chaát töông töï haøm soá löôïng giaùc .

Tính chaát haøm soá Hypebolic nhö sau :

* Haøm sinhypebolic : MXÑ : R

* Haøm coshypebolic : y = chx = MXÑ : R

T/c : f(x+y) + f(x-y) = 2f(x).f(y)

*Haøm Tghypebolic : y = thx =

T/c : ; MGT [-1;1]

· Haøm Cotghyperbolic : y = cothx =

T/c : f(x + y) =

* ch²x + sh²x = 1 ; sh2x = 2 shx chx

ch2x = 2ch²x – 1 ; sh(x+y) = shx chy + shychx

ch (x+y) = chx chy + shx chy .

th(x+y) = ; coth(x+y) =

Ví duï 1. Cho daõy soá (u_n) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau :

u₁ = 2 ; u_n+1 = , n = 1 , 2 , 3 ,…

a) Chöùng minh raèng

b) Chöùng minh raèng daõy ñaõ cho khoâng tuaàn hoaøn .

Giaûi . Ñaët A = arctg2 ( töùc laø tgA = 2) . Baèng qui naïp ta seõ chöùng minh raèng daõy soá u_n = tg(nA) (1)

Thaät vaäy khi n = 1, thì moät hieån nhieân ñuùng ( vì theo giaû thieát u₁ = 2 = tgA). Giaû söû ñaõ ñuùng ñeán n = k , töùc laø : u_k = tg(kA) (2)

Ta coù :

Vaäy (2) cuõng ñuùng khi n = k+1. Theo nguyeân lyù qui naïp thì (1) ñuùng

Baây giôø ta giaûi baøi toaùn .

a) - Roõ raøng (3)

Giaû thieát phaûn chöùng giaû söû u_n = 0 . Xeùt hai khaû naêng sau :

1) Neáu n chaün , khi ñoù n = 2m . Theo (3) suy ra u_m = 0. (4)

2) Neáu n leû , khi ñoù bao giôø ta cuõng coù bieåu dieãn n döôùi daïng :

Söû duïng u_n = 0 vaø coâng thöùc (3) , ta seõ ñi ñeán : u_2s+1 = 0 (5)

Töø (4) ta suy ra neáu m coøn chaün , thì ta laïi thöïc hieän tieâps qui trình ñoù, cho ñeán khi m laø leû.

Toùm laïi neáu toàn taïi n sao cho u_n = 0, thì ñi ñeán moät soá nguyeân s ,

sao cho : u_2s+1 = 0. Ta coù u_{2s + 1} =

Do ñoù suy ra u_2s = -2. Laïi theo (3) suy ra : (6)

Ta bieát raèng neáu u_s thoaû maõn (6) thì u_s phaûi laø soá voâ tyû ( vì nghieäm cuûa phöông trình x² – x – 1 = 0 laø : ) nhöng do u₁ = 2 laø soá höõu tyû neân töø caùch xaùc ñònh : ta suy ra moïi soá haïng cuûa daõy laø soá höõu tyû. Vaäy ñi ñeán ñeàu voâ lyù . Nhö theá giaû thieát phaûn chöùng laø sai .

b) - Ta chöùng minh moät ñieàu maïnh hôn , khoâng daõy soá ñaõ cho khoâng tuaàn hoaøn maø noù chæ nhaän giaù trò naøo ñoù ñuùng moät laàn . Thaät vaäy giaû söû toàn taïi hai soá haïng cuûa daõy cuøng nhaän moät giaù trò . ñieàu ñod coù nghóa laø toàn taïi caùc soá nguyeân m , n vôùi sao cho : u_n+m = u_n