CHUYÊN ĐỀ II : BẤT ĐẲNG THỨC
Tiết:13, 14, 15, 16
BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
1. MỤC TIÊU
a. Kiến thức:
- Nắm vững bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic mean and Geometric mean).
- Nắm được phương pháp chứng minh bất đẳng thức AM-GM , đặc biệt là phương pháp quy nạp kiểu Cauchy .
- Ứng dụng bất đẳng thức AM-GM vào một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm các GTLN và GTNN của các biểu thức.
- Bước đầu làm quen với một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM trong một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm các GTLN , GTNN của các biểu thức.
b. Kĩ năng:
- Vận dụng được bất đẳng thức AM-GM chứng minh các bất đẳng thức liên quan và tìm GTLN và GTNN của các biểu thức không quá phức tạp.
- Rèn luyện kĩ năng sử dụng bất đẳng thức AM-GM qua một số kỹ thuật.
c. Tư duy, thái độ:
- Rèn luyện tư duy lôgic và suy luận chặt chẽ cho HS.
- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS (Từ các bài toán mở rộng, khuyến khích HS sáng tác ra các bài toán mới ).
- Tích cực, chủ động trong các hoạt động và học tập.
- Cẩn thận, chính xác trong suy luận.
2. NỘI DUNG BÀI GIẢNG:
BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
I. Bất đẳng thức:
Cho a1, a2,...,an >
0 : 
,
"n>2.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ...= an .
Chứng minh: * Cách 1:
+ Với n = 2: 
Û 
>
0, đúng.
Vậy với n = 2, bất đẳng thức đúng và dấu bằng khi a1 = a2.
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là "ai > 0, ta có:
Sk=
,
và dấu bằng khi a1 = a2 = ...= ak
.
Xét khi n = k + 1, và theo gtqn có:
Sk+1 = 
,
Dấu bằng khi: a1 = a2 = ...= ak.
Đặt a1a2...ak= ak(k+1), ak+1 = bk+1, ta có:
BĐT trên Û Sk+1-
=
=
=
=
=
=
Do a, b > 0. Þ ĐPCM.!
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a1=a2=...an.
* Cách 2: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy (Tài liệu chuyên toán Đại số 10 - Trang 102)
Ví dụ 1:
1. Cho a,b > 0. CMR: 
(1).
2. Cho a,b > 0. CMR: 
(2).
3. Tổng quát, cho 
.
CMR 
(3).
* Lưu ý :
+ Nhiều bài toán áp dụng BĐT (1)
dưới dạng: 
hoặc
+ Tương tự (2) tương
đương với 
hoặc
Ví dụ 2: Cho a, b, c >
0. CMR : 
(4)
+ Hướng dẫn: Áp dụng BĐT:
(Lưu ý cho HS khi thi, kiểm tra, nếu sử dụng BĐT này thì phải chứng minh lại)
+ Mở rộng: Áp dụng BĐT (4)
đối với các số 
ta
được:
(5)
Từ (4) và (5) ta có bài toán sau:
a)
Cho a, b, c > 0. CMR : 
b)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : 
.
CMR:
(
Đề thi ĐH Khối A- năm 2005)
Ví
dụ 3: Cho a, b, c > 0. CMR: 
+
Hướng dẫn: Áp dụng bđt ,
ta có 
+Mở
rộng: Nếu cho a + b + c là một số không đổi
thì ta tìm được GTLN của biểu thức 
.
Chẳng hạn:
a)
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 20.
Tìm GTLN của biểu thức .
b) Cho x, y, z > 0 và x + 2y + 4z = 12. Tìm GTLN của biểu thức:
Ví dụ 4: Cho a, b, c
> 0. CMR: 
+ Hướng dẫn: Áp dụng bđt ,
ta có:
( Do chứng minh được: 
)
+ Mở rộng: Nếu cho a+b+c là một số không đổi thì ta tìm được GTNN của biểu thức
P = 
.
Chẳng hạn:
a) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 9. Tìm GTNN của biểu thức
P = 
.
b) Cho x, y, z > 0 và x + 2y + 3z = 18. Tìm GTNN của biểu thức
Ví dụ 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
+ Lời giải:
Ta có 
.
Dấu đẳng thức xảy ra 
.
Vậy maxP =
,
đạt được khi
+ Tương tự ta tìm
được GTLN của Q = 
với
a, b, c > 0 và a + b + c = 6
( Phân tích 
,...)
+ Tổng quát: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = m.
Tìm GTLN của R =
( k, m > 0 )
II. Một số kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM trong chứng minh bất đẳng thức:
1. Kỹ thuật ngược dấu:
Ví dụ 1: Cho a, b, c
> 0 và a + b + c = 3. CMR:
+ Phân tích: Ta không thể
dùng trực tiếp bất đẳng thức AM - GM
với mẫu số vì BĐT sau sẽ bị đổi
chiều: 
Tuy nhiên, ta có thể dùng lại bất
đẳng thức đó theo hướng khác để
được bất đẳng thức thuận
chiều bằng cách phân tích: 
,
sau đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM
với mẫu số ta được 
+ Lời giải:
Tương tự 
(vì ta có ab + bc + ca 
).
Đẳng thức xảy ra a
= b = c = 1
Ví dụ 2: Cho a, b, c, d
> 0. CMR: 
Lời giải:
.
Tương tự: 
;
;
Đẳng thức xảy ra a
= b = c = d
Bài tập tương tự:
1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. CMR: 
2. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4. CMR:
a) 
b) 
Hướng dẫn:
1. Phân tích 
,
sau đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM
với mẫu số.
2. a) Phân tích như ý 1.
b) Phân tích 
,
sau đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM
với mẫu số.
2. Kĩ thuật thêm hạng tử:
Từ việc dự đoán dấu bằng xảy ra, thêm bớt số hạng cho phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức AM-GM ta có thể giảI quyết một số bài toán. Để định hướng đúng, chúng ta thực hiện các bước phân tích bài toán như sau:
+ Dự đoán dấu bằng xảy ra hay các điểm mà tại đó đạt GTLN, GTNN.
+ Từ dự đoán dấu bằng, dự đoán cách đánh giá cho mỗi bài toán đảm bảo nguyên tắc “dấu bằng xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu bằng mà ta đã dự đoán ban đầu”
Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0. CMR: 
* Phân tích:
+ Không thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số ở vế trái.
+ Dự đoán dấu bằng xảy ra khi
a = b = c. Khi đó 
;
Ta phải đánh giá sao cho khử được mẫu số
ở vế trái và đảm bảo dấu bằng xảy
ra khi a = b = c nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM
cho 
và
b; 
và
c; 
và
a.
* Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra 
a
= b = c.
Ví dụ 2: Cho a, b,
c>0. CMR : 
* Phân tích: Bằng cách
phân tích tương tự như ví dụ 1, với 
có
hai cách sau:
+ Cách 1: +
ab
…Sau
đó cộng các bđt lại và dùng bđt cơ bản
.
+ Cách 2: ++b2
…Sau
đó cộng các bđt lại.
Ví dụ 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1.
CMR: 
* Phân tích:
Dấu bằng xảy ra a
= b = c = 1. Khi đó 
Vì vậy ta có cách chứng minh sau:
* Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:
.
Tương tự: 
;
Đẳng thức xảy ra a
= b = c = 1
Bài tập tương tự: Cho a, b, c > 0. CMR:
1) 
.
2) 
3) 
4) 
HD giải:
1) Từ: 
,
hoán vị vòng quanh và a3 + b3 + c3 ³ ab2 + bc2 + ca2 ta được
điều cần chứng minh.
2) Từ: 
,
hoán vị vòng quanh và 
³ ab + bc + ca, ta được điều cần chứng
minh.
3) Từ: 
,
hoán vị vòng quanh và 3(a2 + b2 + c2) ³ ( a + b + c)2 ta được điều
cần chứng minh.
4) Từ 
,
hoán vị vòng quanh ta được điều cần
chứng minh.