|
Tröôøng THPT chuyeân Löông Vaên Chaùnh ------------ |
ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC NAÊM 2009 Moân Toaùn (Daønh cho caùc khoái A, B vaø V) Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt eeôff |
PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ CAÙC THÍ SINH (7 ñieåm)
Caâu 1. (2 ñieåm) Cho haøm soá 
.
1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
2) Tìm a vaø b ñeå ñöôøng
thaúng (d): 
caét
(C) taïi hai ñieåm phaân bieät ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng (
): 
.
Caâu 2. (2 ñieåm)
1) Giaûi heä phöông trình 
.
2) Giaûi phöông trình 
.
Caâu 3. (1 ñieåm) Tính tích phaân 
.
Caâu 4. (1 ñieåm) Cho hình hoäp ñöùng ABCDA'B'C'D'
coù ñaùy laø hình thoi caïnh a, goùc ABC baèng 
, goùc giöõa maët phaúng (A'BD)
vaø maët phaúng ñaùy baèng .
1) Tính theo a theå tích hình hoäpï.
2) Tính theo a khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng CD' vaø maët phaúng (A'BD).
Caâu 5. (1 ñieåm) Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá
, 
.
PHAÀN RIEÂNG (3 ñieåm)
Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn 1 hoaëc phaàn 2).
1. Theo chöông trình chuaån
Caâu 6a. (2 ñieåm)
1) Trong maët phaúng Oxy, cho
tam giaùc ABC bieát 
, phöông trình ñöôøng cao BH laø 
, phöông trình
ñöôøng phaân giaùc trong CD laø 
. Tìm hai ñænh B vaø C.
2) Trong khoâng gian Oxyz, cho
ñöôøng thẳng (a):
vaø maët caàu (S): 
.
a) Chöùng minh (a) vaø (S) coù hai ñieåm chung A, B phaân bieät.
b) Vieát phöông trình maët
phaúng 
bieát
qua
A, B vaø caét (S) theo moät giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn lôùn cuûa (S).
Caâu 7a. (1 ñieåm) Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù naêm chöõ soá, trong ñoù chöõ soá 3 coù maët ñuùng ba laàn, caùc chöõ soá coøn laïi coù maët khoâng quaù moät laàn. Trong caùc soá töï nhieân noùi treân, choïn ngaãu nhieân moät soá, tìm xaùc suaát ñeå soá ñöôïc choïn chia heát cho 3.
2. Theo chöông trình naâng cao
Caâu 6b. (2 ñieåm)
1) Trong maët phaúng Oxy, cho
ñöôøng troøn (C): 
. Moät ñöôøng troøn (C') tieáp
xuùc vôùi Oy vaø tieáp xuùc ngoaøi vôùi (C). Tìm taâm cuûa (C') bieát taâm
thuoäc ñöôøng thaúng (d): 
.
2) Trong khoâng gian Oxyz, cho
hai ñöôøng thẳng (a) vaø (b) coù phöông trình
laàn löôït laø 
, 
.
a) Chöùng minh (a) song song vôùi (b), tính khoaûng caùch giöõa chuùng.
b) Vieát phöông trình maët
phaúng qua
(a) vaø vuoâng goùc vôùi mp(a, b).
Caâu 7b. (1 ñieåm) Tìm n nguyeân döông bieát
.
HEÁT
ÑAÙP AÙN VAØ BIEÅU ÑIEÅM ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC NAÊM 2009
Moân Toaùn - Khoái A, B & V
Chuù yù: Döôùi ñaây chæ laø baøi giaûi gôïi yù, hoïc sinh coù theå laøm nhieàu caùch khaùc nhau mieãn laø suy luaän hôïp lyù vaø keát quaû ñuùng thì vaãn ñöôïc ñieåm toái ña cuûa caâu ñoù.
|
Caâu |
Ñaùp aùn |
Ñieåm chi tieát |
Ñieåm |
|
|
1.1 |
·
TXÑ: ·
|
0.25 |
1 |
|
|
·
· Baûng bieán thieân
|
0.25 |
|||
|
·
Ñoà thò
caét Ox taïi |
0.25 |
|||
|
· Ñoà thò veõ ñuùng |
0.25 |
|||
|
1.2 |
Phöông
trình cuûa Ñeå
thoaû ñeà baøi, tröôùc heát (d) vuoâng goùc vôùi |
0.25 |
1 |
|
|
Khi ñoù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa (d) vaø (C):
Ñeå
(d) caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B |
0.25 |
|||
|
Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB, ta coù |
0.25 |
|||
|
Vaäy
ñeå thoaû yeâu caàu baøi toaùn
Vaäy
khi |
0.25 |
|||
|
2.1 |
Heä ñaõ cho töông ñöông vôùi |
0.25 |
1 |
|
|
Ñaët
|
0.5 |
|||
|
Keát hôïp vôùi ñieàu kieän |
0.25 |
|||
|
2.2 |
Ñieàu
kieän: |
0.25 |
1 |
|
|
Vôùi ñieàu kieän treân phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
|
0.5 |
|||
|
Keát
hôïp ñieàu kieän (1), ta coù nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø |
0.25 |
|||
|
3 |
Ñaët
Khi |
0.25 |
1 |
|
|
Khi
ñoù |
0.25 |
|||
|
|
0.25 |
|||
|
|
0.25 |
|||
|
4 |
Goïi
O laø taâm hình thoi. Do ABCD laø hình thoi neân |
0.25 |
1 |
|
|
Do Trong
tam giaùc vuoâng A'AO, ta coù Do
ñoù theå tích cuûa hình hoäp: |
0.25 |
|||
|
Theo
chöùng minh treân ta coù Trong
tam giaùc vuoâng Do
|
0.5 |
|||
|
|
|
|||
|
5 |
Ta
coù Tröôøng
hôïp |
0.25 |
1 |
|
|
Tröôøng hôïp Ta coù Ñaët Ñaët |
0.25 |
|||
|
Ta coù Ta coù
|
0.25 |
|||
|
Keát
hôïp hai tröôøng hôïp cuûa x, ta coù |
0.25 |
|||
|
6a.1 |
Caïnh
AC laø ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi BH neân coù phöông trình Ñænh
C laø giao ñieåm cuûa AC vaø CD neân toaï ñoä cuûa C laø heä nghieäm cuûa heä
phöông trình |
0.5 |
1 |
|
|
Goïi
(d) laø ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc CD, phöông trình cuûa (d): Toaï
ñoä giao ñieåm I cuûa (d) vaø CD laø nghieäm cuûa heä Goïi
A' laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua CD, suy ra I laø trung ñieåm cuûa AA' neân
Do
CD laø ñöôøng phaân giaùc trong goùc C neân ñöôøng thaúng CB ñoái xöùng vôùi
ñöôøng thaúng CA qua CD, suy ra CB laø ñöôøng thaúng qua C, A' hay nhaän Ñænh
B laø laø giao ñieåm cuûa BC vaø BH neân toaï ñoä cuûa B laø nghieäm cuûa heä
phöông trình |
0.5 |
|||
|
6a.2 |
Ñöôøng
thaúng (a) ñi qua Maët
caàu (S) coù taâm |
0.25 |
1 |
|
|
Ta
coù Ta
coù |
0.25 |
|||
|
Do |
0.25 |
|||
|
Vaø
do ñoù
|
0.25 |
|||
|
7a |
Soá caàn tìm coù daïng
Vaäy coù taát caû |
0.5 |
1 |
|
|
Trong caùc soá noùi treân, soá chia heát cho 3 laø soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 3, maø coù ba chöõ soá 3, neân hai chöõ soá coøn laïi coù toång chia heát cho 3, coù boán tröôøng hôïp thoaû maõn, ñoù laø: 1 vôùi 2, 1 vôùi 5, 2 vôùi 4, vaø 4 vôùi 5. Vôùi caùc tröôøng hôïp ñoù, ñeå thaønh laäp soá chia heát cho 3, ta thöïc hieän:
Suy ra coù Vaäy xaùc suaát caàn tìm laø |
|
|||
|
6b.1 |
Ta
coù (C) coù taâm Giaû
söû (C') coù taâm K vaø baùn kính R'. Do Do
(C') tieáp xuùc ngoaøi vôùi (C) neân |
0.5 |
1 |
|
|
Tröôøng
hôïp (1) Tröôøng
hôïp (1) Vaäy
taâm cuûa (C') laø |
0.5 |
|||
|
6b.2 |
Ta
coù (a) ñi qua Ta
coù (b) ñi qua Ta
coù |
0.25 |
|
|
|
Khi
ñoù
|
0.25 |
|||
|
Ta
coù Mp |
0.5 |
|||
|
7b |
Ñaët
Ta
coù Töø
(2), ta coù Suy
ra Do
ñoù Maët
khaùc, töø (1): Töø
(3) vaø (4), ta ñöôïc |
0.5 |
1 |
|
|
Phöông
trình ñaõ cho töông ñöông vôùi Ta
thaáy |
0.25 |
|||
|
Ta
thaáy Xeùt
haøm soá Ta
coù Suy
ra
 laø nghieäm
duy nhaát cuûa baøi toaùn.
|
0.25 |
, 
: ñöôøng
thaúng 
laø
TCÑ
:
ñöôøng thaúng 
laø TCN
, 
suy ra haøm
soá taêng trong töøng khoaûng xaùc ñònh.
, caét Oy taïi 
vaø nhaän
giao ñieåm hai tieäm caän laøm taâm ñoái xöùng.
ñöôïc vieát laïi: 
.
.
(1)
. 
.
thì
thoaû maõn yeâu caàu baøi toaùn.
.
, 
(
) ta ñöôïc 
, heä ñaõ cho coù
nghieäm duy nhaát 
.
.
(1)
(vôùi 
)
.
.
.
; 
.
, keát hôïp vôùi 
laø goùc
giöõa mp(A'BD) 
.
neân tam
giaùc ABC ñeàu 
.
.
.
.
, döïng ñöôøng cao AH, ta
coù 
hay
.
neân 
suy ra 
(vì
)
.
.
:
ta coù 
.
: 
(vì 
).
, khi 
.
, 
.
(vì 
)
.
, 
.
.
, suy ra 
.
.
, suy ra 
. 
.
laøm vectô
chæ phöông neân coù phöông trình 
.
, suy ra 
.
vaø coù moät VTCP laø 
.
vaø coù baùn kính 
.
.
Ñaët 
,
ta coù 
suy
ra 
.
neân
ñöôøng thaúng (a) caét (S) taïi hai ñieåm A, B phaân bieät.
qua A, B
vaø caét (S) theo moät giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn lôùn neân 
vaø 
laøn caëp VTCP neân
nhaän 
hay 
.
. Ñeå thaønh laäp moät soá theo
yeâu caàu, ta thöïc hieän:
caùch choïn.
caùch thöïc hieän.
soá thoaû ñeà baøi.
soá chia heát cho 3.
.
vaø baùn kính 
.
neân 
. Do (C') tieáp xuùc
vôùi Oy neân 
.
hay 
. (1)
:
:
hoaëc 
.
vaø coù moät VTCP laø 
.
vaø cuõng nhaän 
khaùc
phöông vôùi 
;
maø 
suy
ra 
.
coù
caëp VTCP laø 
neân nhaän 
laøm
moät VTCP suy ra 
laøm moät PVT. Maët
khaùc 
hay 
.
(1)
(2)
.
(3)
suy ra 
hay 
. (4)
.
.
khoâng
thoaû phöông trình.
(
)
,
. 
giaûm
treân 
.