Học Để Thi

Bài 76: Cho ∆ABC vuông tại C, có BC = AB. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C). Từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lượt là I, K. a. Tính độ lớn góc . b. Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC 2 = AI.AE – AC.CK. c. Gọi H là giao điểm của đường tròn đường kính AK với cạnh AB.     Chứng minh: H, E, K thẳng hàng. d. Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC.  

Bài 77: Cho ∆ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a. Chứng minh: CDEF nội tiếp được. b. Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của  cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của  cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì? Tại sao? c. Gọi r, r 1 , r 2 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh: r 2 = r 1 2 + r 2 2 .    

Bài 78:   Cho đường tròn (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M. a. Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì? b. Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp. Tìm tâm đường tròn đó. c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy.    

  Bài 79:   Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA'. a. Chứng minh: HE AC. b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC. c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định.  

      Bài 80:    Cho ∆ ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm các đường tròn nội tiếp             ∆ ABH  và ∆ ACH . 1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK. 2) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt  tại M và N.    a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được trong một đường tròn.    b) Chứng minh AM = AN.    c) Chứng minh S' ≤ S , trong đó S, S' lần lượt là diện tích ∆ ABC và ∆ AMN.  

Bài 75:   Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O). K là giao điểm của CF và ED. a. Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn. b. ∆BKC là tam giác gì? Vì sao? c. Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đường tròn (O).  

Bài 74:   Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhọn. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm BC. Hai đ/thẳng AM và EN cắt nhau ở F. a. Tìm những tứ giác có thể nội tiếp đường tròn. Giải thích vì sao? Xác định tâm các đường tròn đó. b. Chứng minh: EB là tia phân giác của . c. Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp .  

Bài 73: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD//AC. Nối BK cắt AC ở I. a. Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC. b. Chứng minh: IC 2 = IK.IB. c. Cho  = 60 0 . Chứng minh: Cát tuyến AKD đi qua O.  

Bài 72: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a. Chứng minh: AEMO là tứ giác nội tiếp được. b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao? c. Kẻ MH AB (H AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH.    d.Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆EOF. Chứng minh: .  

Bài 71: Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B; các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O') cắt đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh: a. ∆ABD ~ ∆CBA. b.  = c. Tứ giác APBQ nội tiếp.  

Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. Chứng minh: a. BC // DE. b. Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp được. c. Tứ giác BCQP là hình gì?  

Bài 69:   Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a. Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn. b. Khi điểm D di động trên đường tròn thì ( + ) không đổi. c. DB.DC = DN.AC  

Bài 68: Cho ∆ABC  có các góc đều nhọn; = 45 0 . Vẽ các đường cao BD và CE. Gọi H là giao điểm của BD, CE. a. Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được trong 1 đường tròn.; b. Chứng minh: HD = DC. c. Tính tỷ số:                d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: OA DE  

Bài 67:    Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên AD và DC, người ta lấy các điểm E và F sao cho :      AE = DF = . a. So sánh ∆ABE và ∆DAF. Tính các cạnh và diện tích của chúng. b. Chứng minh AF  BE. c. Tính tỉ số diện tích ∆AIE và ∆BIA; diện tích ∆AIE và ∆BIA và diện tích các tứ giác IEDF và IBCF.  

Bài 65:   Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trên Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN. a. Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp được trong 1 đường tròn. b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB. c. Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN. HD: a) BOIM nội tiếp được vì b) ;  (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)        ∆ IBN ~ ∆OMB. c) S AIO = AO.IH;  S AIO lớn nhất IH lớn nhất vì AO = R (O) Khi M chạy trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đ/k AO. Do đó S AIO lớn nhất Khi IH là bán kính, khi đó ∆ AIH vuông cân, tức  Vây khi M cách B một đoạn BM = AB = 2R (O) thì S AIO lớn nhất

Bài 64: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB và nửa đường tròn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PK AD và PH AB. Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M. Chứng  minh rằng: a. I là trung điểm của AP. b. Các đường PH, BI và AM đồng quy. c. PM = PK = AH. d. Tứ giác APMH là hình thang cân. HD: a) ∆ ABP cân tại B. (AB = PB = R (B) ) mà (góc nội tiếp …) BI AP  BI là đường cao cũng là đường trung tuyến  I là trung điểm của AP b) HS tự c/m. c) ∆ ABP cân tại B AM = PH ; AP chung ∆vAHP = ∆v PMA AH = PM ; AHPK là hình chữ nhật  AH = KP  PM = PK = AH d) PMAH nằm trên đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t) =   PA // MH Vậy APMH là hình thang cân.