Bài 5 Cho đường tròn  (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA,  gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

1.      Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

2.      Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .

3.      Chứng minh   OI.OM = R²; OI. IM = IA².

4.      Chứng minh OAHB là hình thoi.

5.      Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6.      Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

Lời giải:

1. (HS tự làm).
2. Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính

Và dây cung) => gócOKM = 90⁰. Theo tính chất tiếp tuyến ta có  gócOAM = 90⁰; gócOBM = 90⁰. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc  90⁰ nên cùng nằm trên đường tròn  đường kính OM.

Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3.  Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R

     => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .

Theo tính chất tiếp tuyến ta có  gócOAM = 90⁰ nên tam giác  OAM vuông tại A có AI là đường cao.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA² hay OI.OM = R²; và OI. IM = IA².

4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.

=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.

5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^ AB; còng theo trên OM ^ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng  vuông góc với AB).

6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H còng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn  tâm A bán kính AH = R