Bài 40  Cho  nửa đường tròn  đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

1. Chứng minh tam giác  MON đồng dạng với tam giác  APB.

2. Chứng minh AM. BN = R².

3. Tính tỉ số  khi AM = .

4. Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra.

Lời giải:   

1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OM là tia phân giác của góc AOP ; ON là tia phân giác của góc BOP, mà

 ÐAOP và ÐBOP là hai góc kề bù => ÐMON = 90⁰. hay tam giác  MON vuông tại O.

ÐAPB = 90⁰((nội tiếp chắn nửa đường tròn)  hay tam giác  APB vuông tại P.

Theo tính chất  tiếp tuyến ta có NB ^ OB => ÐOBN = 90⁰; NP ^ OP => ÐOPN = 90⁰

=>ÐOBN+ÐOPN =180⁰ mà ÐOBN và ÐOPN là hai góc đối => tứ giác OBNP nội tiếp =>ÐOBP = ÐPNO

Xét hai tam giác  vuông APB và MON có ÐAPB = Ð MON = 90⁰; ÐOBP = ÐPNO => DAPB ~ D MON

1.                                Theo trên DMON vuông tại O có OP ^ MN ( OP là tiếp tuyến ).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OP² = PM. PM

Mà OP = R; AM = PM; BN = NP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) => AM. BN = R²

3. Theo trên OP² = PM. PM hay PM. PM = R² mà PM = AM =  => PM = => PN = R²: = 2R

=> MN = MP + NP = + 2R = Theo trên DAPB ~ D MON =>  =  : 2R =  = k (k là tỉ số đồng dạng).Vì tỉ số diện tich giữa hai tam giác  đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên ta có: 

  = k²  =>   =

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.