TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 - bài 39



Bài 39  Cho đường tròn  (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn  ngoại tiếp tam giác  HBE, HCF.

  1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O);  (I) và (K).

  1. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.
  2. Chứng minh AE. AB = AF. AC.
  3. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  (I) và (K).
  4. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.

Lời giải:   

1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiếp xúc  (O)

       OK = OC – KC => (K) tiếp xúc (O)

      IK  = IH + KH => (I) tiếp xúc (K)

2. Ta có : ÐBEH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐAEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1)

ÐCFH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐAFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2)


ÐBAC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn  hay ÐEAF = 900 (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).

3. Theo giả thiết AD^BC tại H nên DAHB vuông tại H có HE ^ AB ( ÐBEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*)

Tam giác  AHC vuông tại H có HF ^ AC (theo trên ÐCFH = 900 ) => AH2 = AF.AC (**)

Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH2)

4. Theo chứng minh  trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật, gọi G là giao điểm của hai đường chéo AH và EF ta có  GF = GH (tính chất đường chéo hình chữ nhật) => DGFH cân tại G => ÐF1 = ÐH1 .

DKFH cân tại K (vì có KF và KH cùng là bán kính) => ÐF2 = ÐH2.

=> ÐF1 + ÐF2 = ÐH1 + ÐH2ÐH1 + ÐH2 = ÐAHC = 900 => ÐF1 + ÐF2 = ÐKFE = 900 => KF ^EF .

Chứng minh tương tự ta còng có IE ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai  đường tròn  (I) và (K).

e) Theo chứng minh  trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật => EF = AH £ OA (OA là bán kính đường tròn  (O) có độ dài không đổi) nên EF = OA <=> AH = OA <=> H trùng với O.

Vậy khi H trùng với O túc là dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

 

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.

 




No comments:

 

© 2012 Học Để ThiBlog tài liệu