Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn vs AB<AC nội tiếp (O;R) vẽ 3 đường cao AD , BE, CF cắ nhau tại H cua tam giác ABC
a) CM tứ giác BFEC nội tiếp,xác định tâm của đường ngoại tiếptứ giác BFEC
b) Đường thẳng EF lần luọt cắt AD tại I và CB tại K CM DA là phân giác cua góc FDE từ đó suy ra KE.FI=IE.FK
c) Gọi T là điểm dối xứng của A qua E ,KT cắt AD tại P.Chứng minh PF song song AC
d) Tính số đo góc A nếu biết tứ giác BOTC nội tiếp 1 đường tròn
giải:
b.
v Xét tứ giác BFHD : góc BFH = góc BDH = 90 độ => BFH + BDH = 180 độ => BFHD nội tiếp ( tứ giác có tổng 2 góc đối = 180 độ )
=> FBH = FDH ( cùng chắn cung FH ) (1)
Xét tứ giác BDEA : ADB = AEB = 90 độ => BDEA nội tiếp ( tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc = nhau )
=> ABE = ADE ( cùng chắn cung AE ) (2)
Từ (1),(2) => FDH = ADE => DA : phân giác của FDE .
Ta có : AD vuông góc DK (gt)
DI : phân giác FDE ( cmt )
K thuộc EF
Từ 3 điều này suy ra được : DK là phân giác ngoài của FDE
v Xét tam giác ADE có : DI : ph/giác trong
Áp dụng tính chất phân giác ta có:
Mà KD vuông với DI
=>KD là phân giác góc ngoài cả tam giác FDE
Từ (*) và (**), suy ra:
=>IF.KE=IE.KF
c. Vẽ thêm FP' // AC ( P' thuộc AD ) ..( Gợi ý : ta sẽ đi c.minh K,P',T thẳng hàng và P ≡ P' từ đó suy ra đc ycbt )
=> IF/IE = FP'/EA (hệ quả Ta Lét)
mà ET=EA ( gt )
=> IF/IE = FP'/ET
lại có : IF/IE = KF/KE ( câu b )
=> FK/EK = FP'/ET
=> FK/FP' = EK/ET ( áp dụng tính chất tỉ lệ thức )
Xét tam giác FKP' và tam giác EKT :
FK/FP' = EK/ET ( cmt )
KFP' = KET ( đồng vị , FP' // AC )
Suy ra : tam giác FKP' đồng dạng tam giác EKT ( c-g-c )
=> FKP' = EKT
=> K,P',T thẳng hàng
=> P ≡ P'
=> PF // AC
d. Nếu BOTC nội tiếp thì : BTC = BOC ( cùng chắn cung BC )
Có : BOC = 2BAC ( góc ở tâm = 2 lần góc nội tiếp cùng chắn 1 cung )
Xét tam giác BAT : BE đường cao , BE cũng là trung tuyến ( do ET = EA )
=> Tam giác BAT cân tại B
=> BAC(BAT) = BTA
Ta có : BTC + BTA = 180 ( kề bù )
=> 2BAC + BAC = 180
=> 3BAC = 180
=> BAC = 60
Comments
Post a Comment