TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 - bài 29

Bài 29  BC là một dây cung của đường tròn  (O; R) (BC  2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác  ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác  ABC đồng quy tại H.

1.                           Chứng minh tam giác  AEF đồng dạng với tam giác  ABC.

2.                           Gọi A' là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA'.

3.                           Gọi A₁ là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA₁ = AA'. OA'.

4.   Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2S_ABC suy ra vị trí của A để

tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:  (HD)

1. Tứ giác BFEC nội tiếp => ÐAEF = ÐACB (cùng bù ÐBFE)

    ÐAEF = ÐABC (cùng bù ÐCEF) => D AEF ~ D ABC.

2. Vẽ đường kính AK => KB // CH ( cùng vuông góc AB); KC // BH (cùng vuông góc AC) => BHKC là hình bình hành => A' là trung điểm của HK => OK là đường trung bình của   DAHK => AH = 2OA'

  

3. Áp dụng tính chất : nếu hai tam giác  đồng dạng thì tỉ số giữa hia trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đường tròn  ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng. ta có :

D AEF ~ D ABC =>  (1) trong đó R là bán kính đường tròn  ngoại tiếp DABC; R' là bán kính đường tròn  ngoại tiếp D AEF; AA' là trung tuyến của DABC; AA₁ là trung tuyến của DAEF.

Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn  đường kính AH nên đây còng là đường tròn  ngoại tiếp DAEF 

Từ (1) => R.AA₁ = AA'. R' = AA'  = AA' .

Vậy         R . AA₁ = AA' . A'O           (2)

4. Gọi B', C'lần lượt là trung điểm của AC, AB, ta có OB'^AC ; OC'^AB (bán kính đi qua trung điểm của một dây không qua tâm) => OA', OB', OC' lần lượt là các đường cao của các tam giác OBC, OCA, OAB.

            S_ABC  = S_OBC+ S_OCA + S_OAB  =( OA' . BC' + OB' . AC + OC' . AB )

2S_ABC  = OA' . BC + OB' . AC' + OC' . AB  (3)

Theo (2) => OA' = R .  mà là tỉ số giữa 2 trung tuyến của hai tam giác đồng dạng AEF và  ABC nên  = .  Tương tự ta có :  OB' = R .; OC' = R .   Thay vào (3) ta được

2S_ABC = R () ó 2S_ABC = R(EF + FD + DE)

* R(EF + FD + DE) = 2S_ABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn nhất khi S_ABC.

Ta có S_ABC = AD.BC do BC không đổi nên S_ABC lớn nhất khi AD lớn nhất, mà AD lớn nhất khi A là điểm chính giỡa của cung lớn BC.

 

Lưu ý kí hiệu Ð có ngĩa là góc.