Toán 9 - HKII

Bài 1:

a. 3x² – 8x + 4 = 0

Δ = 16 > 0

ÖΔ = Ö16 = 4

Vì Δ > 0 nên pt có 2 nghiệm phân biệt:

x₁ = 2
x₂ = 2 / 3

b. x⁴ – 5x² – 36 = 0     ^(*)
Đặt: t = x² ≥ 0
Từ ^(*) => t² – 5t – 36 = 0     ^(**)
               Δ = 169 > 0 ÖΔ = Ö169 = 13
Vì Δ > 0 nên pt ^(**) có 2 nghiệm pb:
t₁ = 9 (thỏa)
t₂ = -4 (k thỏa)

Xét t = 9 => x² = 9
             ó x = ± 3

Vậy x = ± 3 là nghiệm của pt ^(*)

c.| x + 2y = -3

   |3x – y = 5        (nhân 2)

ó| x + 2y = -3
    | 6x – 2y = 10ó | 7x = 7
     |x + 2y = -3ó | x = 1
     | 1 + 2y = -3ó | x = 1
     | 2y = -4ó | x = 1
     | y = -2

Vậy (1;-2) là nghiệm của hpt.

d. 3x² – (4Ö3)x + 4 = 0
  Δ = (-4Ö3)² – 4 . 3 . 4
     =    0

Vì Δ = 0 nên pt có nghiệm kép:

X₁ = x₂ = (2Ö3) / 3

Bài 2:

a. vì thời gian k cho phép nên câu này e k vẽ…m.n tự xử câu này nhá… ^^

b. Pthđ giao điểm của (P) và (D), ta có:

   ¼ x² = ½ x + 2ó ¼ x² – ½ x – 2 = 0
   Δ = 9/4 ÖΔ = Ö9/4 = 3/2
Vì Δ > 0 nên pt có 2 nghiệm pb:

x₁ = 4
x₂ = -2
Thay x₁ = 4 vào (P), ta đc: y₁ = 4
Thay x₂ = -2 vào (P), ta đc: y₂ = 1
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (D) là (4;4) và (-2;1).

c. Ptđt (d) có dạng : y = ax + b
Vì (d) // (D) :  a = ½
                      b ≠ 2
Ta có:
   ¼ x² = ½ x + bó ¼ x² – ½ x – b = 0
    Δ = ¼ + b
Đt (d) tiếp xúc vs (P) khi: Δ = 0
                                  ó ¼ + b = 0
                                  ó  b = ¼ (thỏa đk)
Vậy ptđt (d) cần tìm là : y = ½ x² – ¼

Bài 3:

a. x² – 2x – m² – 4 = 0
   Δ = (-2)² – 4 . 1 . (-m² – 4)
      =   4 + 4m² + 16
      =     4m² + 20 ≥ 20 > 0 " m Î R

Vậy pt luôn có nghiệm " m.

b.
  S = x₁ + x₂ = 2

  P = x₁x₂ = -m² – 4

       x₁² + x₂² = 20ó  (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ – 20 = 0

ó   ( 2 )² – 2(-m² – 4) – 20 = 0

ó    4  +  2m² + 8 – 20 = 0

ó   2m² – 8 = 0
    Δ = 0² – 4 . 2 . (-8)
       =     64  > 0 ÖΔ = Ö64 = 8

Vì Δ > 0 nên pt có 2 nghiệm pb:

m₁ = 2
m₂ = -2
Vậy m = ± 2 thì pt thỏa x₁² + x₂² = 20.

Bài 4:

a. C/m: OA ^ BC:

Ta có: OB = OC = R (bán kính)

          AB = AC ( AB, AC là 2 tt của (O))

Suy ra: OA là đg` trung trực của BC

=> OA ^ BC

b. C/m: AB² = AE . AF:

Xét Δ ABF và Δ ABE, ta có:

           góc A cung (gt)
        góc ABE = góc BFE ( gnt và g tạo bởi tia tt và dây cung cùng chắn cung BE)
Suy ra: Δ ABE ~ Δ AFB
=> AB / AF = AE = AB
=>  AB² = AE . AF

c.chứng minh EHOF nội tiếp.

ta có:

AC²=AE.AE (tính chất các tuyến, nếu chưa học thì tự chứng minh bằng 2tam giác đồng dạng) (1)

ACHAOC (hai tam giác vuông có chung góc A)

=>AC/AO=AH/AC

=>AC²=AO.AH (2)

Tứ (1) và (2) suy ra: AE.AF=AO.AH

=>AEHAOF (2 tam giác có 2 cạnh tỉ lệ và chung gốc A)

=> (vì nó là 2 góc tương tứng)

=>EHOF nội tiếp (có góc trong bằng góc ngoài của góc đối diện)

d.

Chứng minh tương tự câu c, tứ giác BCIO nội tiếp

=> (góc trong bằng góc ngoài đối diện)

Lại có:

·         (do KIE=90 "tính chất đường kính và dây)

·         (do tam giác BMP vuông)

Suy ra: 

Mà :  (đối đỉnh)

Suy ra: tứ giác CIME nội tiếp ( có 2 góc cùng nhìn cạnh CE bằng nhau)

=> (góc nội tiếp cùng nhìn cạnh EM)

Mà:  (góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Suy ra: 

=>IM//FB

Lại có: I là trung điểm của EF (gt)

Nên IM là đường trung bình của tam giác FEN

=>M là trung điểm của EN.