Bài 25.  Cho đường tròn  (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn  (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.

1. Chứng minh tam giác  ABC cân.      2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .

3.  Chứng minh   MI² = MH.MK.         4. Chứng minh PQ ^ MI.

Lời giải:  

1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => DABC cân tại A.

2.  Theo giả thiết MI ^ BC => ÐMIB = 90⁰; MK ^ AB => ÐMKB = 90⁰.

=> ÐMIB  + ÐMKB = 180⁰ mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp

* ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp  tương tự tứ giác BIMK )

3. Theo trên  tứ giác BIMK nội tiếp => ÐKMI + ÐKBI = 180⁰; tứ giác CHMI nội tiếp => ÐHMI + ÐHCI = 180⁰. mà ÐKBI = ÐHCI ( vì tam giác  ABC cân tại A)  => ÐKMI = ÐHMI (1).

Theo trên  tứ giác BIMK nội tiếp => ÐB₁ = ÐI₁ ( nội tiếp cùng chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => ÐH₁ = ÐC₁ ( nội tiếp cùng chắn cung IM). Mà ÐB₁ = ÐC₁ ( = 1/2 sđ ) => ÐI₁ = ÐH₁ (2).

Từ (1) và (2) => DMKI   DMIH =>  => MI² = MH.MK

4. Theo trên ta có  ÐI₁ = ÐC₁; còng chứng minh tương tự ta có ÐI₂ = ÐB₂ mà ÐC₁ + ÐB₂ + ÐBMC = 180⁰ => ÐI₁ + ÐI₂ + ÐBMC = 180⁰ hay ÐPIQ + ÐPMQ = 180⁰ mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => ÐQ₁ = ÐI₁ mà ÐI₁ = ÐC₁ => ÐQ₁ = ÐC₁ => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI ^BC nên suy ra IM ^ PQ.

Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.