Toán - Tô Mai

59. Cho a, b, c, d thoả mãn a + b = c + d, a² + b² = c² + d².

Chứng minh rằng a²⁰⁰² + b²⁰⁰² = c²⁰⁰² + d²⁰⁰².
(Đề thi chọn học sinh giỏi giải thưởng Lê Quý Đôn, Trường THCS Lê Quý Đôn, Quận 3 – TP. Hồ Chí Minh, năm học 2001 – 2002).

60. Cho các số thực dương a và b thoả mãn : a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰²+ b¹⁰².

Hãy tính giá trị của biểu thức : P = a²⁰⁰⁴ + b²⁰⁰⁴.

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2004 – 2005)

Giải:

59.

Ta có: a² + b² = c² + d²

=>a²-c²=d²-b²

=>(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b)   (1)

Lại có: a + b = c + d

=>a-c=d-b

Nếu a=c => b=d hiễn nhiên biểu thức:

a²⁰⁰² + b²⁰⁰² = c²⁰⁰² + d²⁰⁰² đúng.  (II)

Nếu ac =>bd

=>a-c=d-b0

Khi đó biểu thức (1) trở thành:

a+c=b+d (a-c, d-b khác không nên ta có thể đơn giản)

mà: a + b = c + d

cộng hai biểu thức theo vế ta được:

2a+b+c=b+c+2d

=>2a=2d

=>a=d

=>b=c

Vì a=d và b=c nên biểu thức a²⁰⁰² + b²⁰⁰² = c²⁰⁰² + d²⁰⁰² đúng. (I)

Kết luận: với điều kiện đềcho ta luôn có: a²⁰⁰² + b²⁰⁰² = c²⁰⁰² + d²⁰⁰².

60:

a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = a¹⁰¹ + b¹⁰¹

=>a¹⁰¹-a¹⁰⁰+b¹⁰¹-b¹⁰⁰=0

=>a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)=0      (#)

Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)>0

không đúng với (#).

Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)<0

không đúng với (#).

Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.

Ta có:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)=0

=>a¹⁰⁰(a-1)=b¹⁰⁰(1-b)   (*)

Lại có:

a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰²

=> a¹⁰² –a¹⁰¹+ b¹⁰²-b¹⁰¹=0

=>a¹⁰¹(a-1)+b¹⁰¹(b-1)=0

=>a.a¹⁰⁰(a-1)+b.b¹⁰⁰(b-1)=0

=>a. a¹⁰⁰(a-1)- b.b¹⁰⁰(1-b)=0

=> a. a¹⁰⁰(a-1)- b. a¹⁰⁰(a-1)=0   (do (*) )

=> a¹⁰⁰(a-1)(a-b)=0

=>

=>

Với a=1 thay vào (*) ta được:

0=b¹⁰⁰(b-1)

=>b=1    (vì b>0.)

Với a=b thay vào 1 ta được:

a¹⁰⁰(a-1)=a¹⁰⁰(1-a)  

=>a-1=1-a

=>2a=2

=>a=1 =>b=1

Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.

Suy ra: P = a²⁰⁰⁴ + b²⁰⁰⁴=1²⁰⁰⁴+1²⁰⁰⁴=1+1=2