Toán Hình Lớp 9 Liên Quan Đến Tính Chất Phân Giác

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung điểm của BC 

a) Chứng minh A, H, O thẳng hàng 

b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O), vẽ CK vuông góc với BD. Chứng minh AC.CD = CK. AO 

c) Tia AO cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng MH.AN = AM.HN 

d) AD cắt CK tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK.

Giải:

a.     Ta có

ü OC=OB=R (gia thuyết)

ü AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=>OA là đường trung trực của đoạn BC

=>OA đia qua trung điểm của BC

Mà H là trung điểm của BC

Suy ra: O,A,H thằng hàng.

b.    Xét 2 tam giác AOC và CDK có:

ü  (giả thuyết)

ü 

=>AOCCDK

=>AO.CK=AC.CD (đpcm)

c.       

Ta có

ü CM=BM (do AO là đường trung trực của BC)

ü  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây)

ü  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây)

=>=

=>CM là phân giác của tam giác ACH

Lại có: CNCM (do góc nội tiếp  chắn nữa đường tròn)

=>CN là phân giác ngoài của tam giác ACH

Từ (1) và (2) suy ra:

=>AM.NH=AN.MH (đpcm)

d.     Ta có: CI //AB (cùng vuông góc với BD) 
=> =  =
Lại có: AD cắt BC tại E => CE là phân giác  trong góc ICA, 
Mà: CD vuông BC 
=> CD là phân giác ngoài góc ICA 

suy ra:  EI/EA = DI/DA = IC/AC  (cái này chứng minh như câu c đó)
Mà AB = AC 

=> EI/EA = DI/DA = IC/AB (1) 
Ta lại có: 

CK // AB (cùng vuông với BD) 
theo Thales 
DI/DA = IK/AB (2) 
từ (1) và (2) => IK/AB = IC/AB 
=> IK = IC (đpcm)