Bài 10 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N ( A¹ M&N). Gọi I, P và Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OH, BH, và CH. Chứng minh:

a)

b) Tứ giác BMNC nội tiếp.

c) Điểm I là trực tâm tam giác APQ.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh :

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Nên Tam giác ANH vuông tại N.

(do AH là đường cao của ABC) nên tam giác AHC vuông ở H.

Do đó  (cùng phụ ).

b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp:

Ta có :  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN).

 (câu a).

Vậy: . Do đó tứ giác BMNC là một tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh I là trực tâm tam giác APQ:

OA = OH và QH = QC (gt) nên QO là đường trung bình của tam giác AHC.

Suy ra: OQ//AC, mà AC AB nên QO  AB.

Tam giác ABQ có AH  BQ và QO  AB nên O là trực tâm của tam giác.

Vậy BO  AQ. Mặt khác PI là đường trung bình của tam giác BHO nên PI // BO.

Kết hợp với BO  AQ ta được PI  AQ. Tam giác APQ có AH  PQ và PI  AQ nên I là trực tâm tam giác APQ (đpcm).