Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB>AC) nội tiếp đường tròn (O,R). Đường cao CD của tam giác ABC cắt (O,R) ở E. Vẽ EF vuông góc với BC tại F.
a. Chứng minh rằng: DA.DB=DC.DE
b. Chứng minh rằng : B,E,D,F cùng thuộc 1 đường tròn.
c. Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng DF và AC. Trên tia DC lấy điểm H sao cho DH=DE. Chứng minh rằng A,D,E,M cùng thuộc 1 đường tròn và H là trực tâm của tam giác ABC.
d. Giả sử AC=R
. Gọi N là giao điểm của EF và BD. Chứng minh rằng tứ giác AHNE là hình vuông.
Giải:
a. Xét 2 tam giác ADC và BDE, ta có:
ü 
(Vì CD là đường cao của tam giác ABC)
ü 
(góc nội tiếp cùng chằn cung BC)
=>ADC
EDB
=>AD.DB=DC.ED
=>DA.DB=DC.DE ( điều phải chứng minh)
b. Xét từ giác BEDF, ta có:
ü 
(giả thuyết)
=>BECF nội tiếp (do có 2 góc cùng nhìn cạnh BE bằng nhau)
c.
v Chứng minh AMED nội tiếp:
Tứ giác AMED, ta có:
ü 
(vì tứ giác ACBE nội tiếp)
ü 
(vì tứ giác ACBE nội tiếp)
2 cái trên đều chứng minh theo "góc trong và góc ngoài đồi diện"
=>
=>tứ giác ADEM nội tiếp (có 2 góc cùng nhìn cạnh ME bằng nhau)
v Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC:
Tam giác AHE có:
ü AD là đường cao (giả thuyết)
ü AD là đường trung tuyến (do DH=DE)
=>AHE là tam giác cân tại A (vì có đường cao vừa là đường trung tuyến)
Suy ra: 
Mà: 
(đối đỉnh)
Nên: 
(1)
Lại có: 
(vì nó là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE) (2)
Tam giác ADE, ta có:
(do ADE vuông tại D) (*)
Thay (1) và (2) và (*) ta được:
=>tam giác CHK vuông tại K
=>HK
BC
=>AH là đường cao của tam giác ABC
Với lại: CH cũng là đường cao của tam giác ABC (gt)
Vậy: H là trực tam của tam giác ABC.
d. Vẽ đường kính AP, khi đó tam giác ACP ta có:
(góc chắn nữa đường tròn)
Áp dụng lượng giác ta được:
=>
=>
=>tam giác NBF là tam giác vuông cân
=>
=>
(đối đỉnh)
Suy ra tam giác EDN là tam giác vuông cân (có 1 góc vuông với 1 góc 45)
=>DN=DE (2 cạnh bên của tam giác cân) (1)
Trang tam giác EAH, ta có:
ü AEH cân tại A, chứng minh trên.
ü 
( cùng chắn cung AC)
ð Tam giác AEH là tam giác vuông cân tại A.
ð AD=ED=HD (2)
ð Từ (1) và (2) suy ra: AD=ED=HD=ND
ð D là trung điểm của 2 cạnh AN và HE và AN=HE
ð Tứ giác AHNE là hình chử nhật (có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mà: ANHE (do CD là đường cao của tam giác ABC)
Nên: AHNE là hình vuông (hình chử nhật có 2 đường chéo vuông góc)
Comments
Post a Comment