Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đướng kính AM của (O). đường cao AD cắt (O) tại điểm thứ 2 K.
a. Gọi H là điểm đối xứng của K qua BC, CH cắt AB tại F. chứng minh: H là trực tâm của tam giác ABC.
b. BH cắt AC tại E. Chứng minh trung điểm I của AH thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
c. AH cắt EF tại P, AM cắt BC tại Q. chứng minh:PQ//MH.
d. Qua P kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại T và cắt BE tại N. Chứng minh: P là trung điểm của đoạn thảng NT.
Giải:
a. Chứng minh H là trực tâp của tam giác ABC:
Tam giác CHK có:
ü CD là đường cao
ü CD là đường trung tuyến (do D là trung điểm của HK)
ð CHK là tam giác cân tại C (có đường cao vừ là đường trung tuyến)
ð CD cũng là đường phân giác của tam giác CHK
ð 
Mà 
(góc nội tiếp cùng chắn cung BK)
=>
(1)
Lại có: 
(đối đỉnh) (2)
Trong tam giác CHD có:
(do nó vuông tại D) (*)
Thay (1),(2) vào (*) ta được:
Suy ra tam giác AHF vuông tại F
=>CF
AB
=> CF là đường cao của tam giác ABC
Vậy H là trực tâm của tam giác ABC(vì H là giao điểm của 2 đường cao CF và AD)
b. Chứng minh IDFE nội tiếp.
v Tam giác AEH có:
ü Vuông tại E
ü EI là đường trung tuyến
=>IA=IE=IH (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
=>AEI là tam giác cân tại I
=>
=>
(@)
Chứng minh tương tự ta có:
(@@)
Tứ giác DEIF ta xét tổng sau:
=
Thay (@),(@@) vào biểu thức trên ta được:
=
(I)
Lại có:
ü 
(do CEHD nội tiếp)
ü 
(do AFDC nội tiếp:
Thay vào (I) ta được:
=
+
=2
+
=2(
+
)
Mà 
(chứng minh trên)
Suy ra: =2(
=2(
=2.90=180
(do tam giác ADC vuông tại D)
Vậy EIFD nội tiếp được đường tròn (có tổng 2 góc đối bằng 180)
=>I thuộc đường tròn ngoại tiếp DEF.
c. Chứng minh PQ//MH
Tam giác FPD có FH là đường phân giác (cách chứng minh phân giác giống như làm ở câu b)
Lại có: FHFA (do CF là đường cao)
Nên: FA là phân giác ngoài của tam giác FPD
Kết hợp 2 ý trên ta có:
Mà: HD=DK nên ta có:
Tam giác AKM có:
ü DQAK (già thuyết)
ü MKAK ( do góc MKA là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
=>DQ//MK
Theo Talet ta có:
Từ (
),(
) suy ra:
Vậy PQ//MH (theo Talet - ở đây xét tính chất Talet trong tam giác AHM)
d. Chứng minh P là trung điểm của NT
Tứ giác APNE có:
ü PN//BC
ü AKBC
=>PN AK
Do đó, ta có:
ü 
(PN AK)
ü 
(do BE là đường cao của tam giác ABC)
=>APNE nội tiếp. (có 2 góc cùng nhìn cạnh AN bằng nhau)
=>
(góc nội tiếp cùng chắn cung AP)
Mà 
(góc trong và góc ngoài đối diện của tứ giác nội tiếp BCEF)
Suy ra: 
Lại có: 
Nên: 
Vậy tam giác ANT cân tại A (có 2 góc đáy bằng nhau)
Với lại: AP là đường cao của tam giác ANT (do PN AK)
Suy ra: AP củng là đường trung tuyến của tam giác ANT (tính chất tma giác cân)
Do đó: PN=PT
Kết luận: P là trung điểm của NT.
Comments
Post a Comment