Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đướng kính AM của (O). đường cao AD cắt (O) tại điểm thứ 2 K.

a.     Gọi H là điểm đối xứng của K qua BC, CH cắt AB tại F. chứng minh: H là trực tâm của tam giác ABC.

b.     BH cắt AC tại E. Chứng minh trung điểm I của AH thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

c.     AH cắt EF tại P, AM cắt BC tại Q. chứng minh:PQ//MH.

d.     Qua P kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB  tại T và cắt BE tại N. Chứng minh: P là trung điểm của đoạn thảng NT.

Giải:

a.     Chứng minh H là trực tâp của tam giác ABC:

Tam giác CHK có:

ü CD là đường cao

ü CD là đường trung tuyến (do D là trung điểm của HK)

ð CHK là tam giác cân tại C (có đường cao vừ là đường trung tuyến)

ð CD cũng là đường phân giác của tam giác CHK

ð

Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung BK)

=>  (1)

Lại có: (đối đỉnh) (2)

Trong tam giác CHD có:

(do nó vuông tại D) (*)

Thay (1),(2) vào (*) ta được:

Suy ra tam giác AHF vuông tại F

=>CFAB

=> CF là đường cao của tam giác ABC

Vậy H là trực tâm của tam giác ABC(vì H là giao điểm của 2 đường cao CF và AD)

b.     Chứng minh IDFE nội tiếp.

v Tam giác AEH có:

ü Vuông tại E

ü EI là đường trung tuyến

=>IA=IE=IH (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

=>AEI là tam giác cân tại I

=>

=>  (@)

Chứng minh tương tự ta có:

  (@@)

Tứ giác DEIF ta xét tổng sau:

=

Thay (@),(@@) vào biểu thức trên ta được:

=  (I)

Lại có:

ü (do CEHD nội tiếp)

ü (do AFDC nội tiếp:

Thay vào (I) ta được:

=+ =2+=2(+)

Mà (chứng minh trên)

Suy ra: =2(=2(=2.90=180

(do tam giác ADC vuông tại D)

Vậy EIFD nội tiếp được đường tròn (có tổng 2 góc đối bằng 180)

=>I thuộc đường tròn ngoại tiếp DEF.

c.     Chứng minh PQ//MH

Tam giác FPD có FH là đường phân giác (cách chứng minh phân giác giống như làm ở câu b)

Lại có: FHFA (do CF là đường cao)

Nên: FA là phân giác ngoài của tam giác FPD

Kết hợp 2 ý trên ta có:

Mà: HD=DK nên ta có:

Tam giác AKM có:

ü DQAK (già thuyết)

ü MKAK ( do góc MKA là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

=>DQ//MK

Theo Talet ta có:

Từ (),() suy ra:

Vậy PQ//MH (theo Talet - ở đây xét tính chất Talet trong tam giác AHM)

d.     Chứng minh P là trung điểm của NT

Tứ giác APNE có:

ü PN//BC

ü AKBC

=>PN AK

Do đó, ta có:

ü (PN AK)

ü (do BE là đường cao của tam giác ABC)

=>APNE nội tiếp. (có 2 góc cùng nhìn cạnh AN bằng nhau)

=> (góc nội tiếp cùng chắn cung AP)

Mà (góc trong và góc ngoài đối diện của tứ giác nội tiếp BCEF)

Suy ra:

Lại có:

Nên:

Vậy tam giác ANT cân tại A (có 2 góc đáy bằng nhau)

Với lại: AP là đường cao của tam giác ANT (do PN AK)

Suy ra: AP củng là đường trung tuyến của tam giác ANT (tính chất tma giác cân)

Do đó: PN=PT

Kết luận: P là trung điểm của NT.