Cho ∆ABC vuông tại C, có BC =1/2 AB. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C). Từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lượt là I, K.
a. Tính độ lớn góc .CIK
b. Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC² = AI.AE – AC.CK.
c. Gọi H là giao điểm của đường tròn đường kính AK với cạnh AB. 
Chứng minh: H, E, K thẳng hàng.
d. Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC

Giải:

a.   Tính độ lớn góc CIK

Ta có:

Tứ giác ABIC là tứ giác nội tiếp (có 2 góc vuông cùng nhìn cạnh AB)

Suy ra: (góc trong và góc ngoài đối diện)

Mà: sin=

=>=30

Vậy

b.   Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC² = AI.AE – AC.CK.

v Tứ giác ABIC nội tiếp nên KB và KA là 2 cát tuyến, áp dụng tính chất cát tuyến ta được: KA.KC = KB.KI (ở đây nếu em chưa học tính chất này thì chứng minh KAIKCB cũng được –Tự làm nha)

v Xét 2 tam giác: ACE và AIK ta có:

ü (gt)

ü Góc A chung

=>ACEAIK

=>AC.AK=AE.AI

=>AC.(AC+CK)=AE.AI

=>AC²+AC.CK=AE.AI

=>AC² =AE.AI-AC.CK

c.   chứng minh H,K,E thảng hàng:

Tam giác ABK có:

ü AI là đường cao (do AI vuông vối IB)

ü BC là đường cao (do tam giác ABC vuông tại C)

ü E là giao điểm của AI và BC

Suy ra E là trực tâm của tam giác ABK.

Mà KH cũng là đường cao của tam giác ABK (do – cung chắn nửa đường tròn)

Vậy K,H,E thẳng hàng (đường cao phải đi qua trực tâm)

d.   Quỷ tích điểm I:

Ta có: ACIC nội tiếp đường tròn màu hồng (chứng minh ở câu a)

ở đây ta thấy đường tròn này có đường kính là AB (do tam giác vuông nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền)

Khi E di động trên BC thì AI vẫn vuông vối IB nên I luông thuộc đường tròn có đường kính AB, nghĩa là I thuộc cung nhỏ BC của đường tròn đường kính AB.

Có một số trường yêu cầu chứng minh phần tuận và phần đảo nữa đó nha. Do đó, phần này mấy em tự chứng minh Thầy gợi ý tới đây thôi nha.

Chúc một ngày tốt lành.