Trọng Tâm Toán 12

4:30:00 PM Được đăng bởi Trang Anh Nam

Toùm taét kieán thöùc troïng taâm thi toát nghieäp phoå thoâng trung hoïc

Toùm taét kieán thöùc troïng taâm thi toát nghieäp trung hoïc phổ thông

Moân : toaùn

A/ Khaûo Saùt Haøm Soá.

I/ haøm ña thöùc ( haøm baäc ba, haøm truøng phöông )

B1:Tập xaùc ñònh : D = R.

B2: Xét sự biến thiên

· Lim y khi

· Tính y’

· Tìm nghieäm y’

· Laäp BBT rồi kết luận về tính đồng biến, nghịch biến, cực trị

B3: đồ thị

· Tìm y’’

· Tìm nghieäm y’’ suy ra điểm uốn

· Tìm ñieåm ñaëc bieät: giao điểm với các trục.

· veõ ñoà thò ( ñuùng daïng, ñuùng cöïc trò ).

** chuù yù :Vôùi haøm truøng phöông, neáu phöông trình y’ = 0 coù ba nghieäm phaân bieät thì y’ ñoåi daáu khi đi qua mỗi nghiệm töø phaûi sang traùi, baét ñaàu cuøng daáu a.

** Đối với hàm bậc 3, điểm uốn là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu nên khi tính xong ta hãy kiểm tra lại bằng cách này.

II.haøm phaân thöùc:

B1: Tập xaùc ñònh :

B2: Xét sự biến thiên

· tính giới hạn tại vô cực:

limy khi suy ra tiệm cận ngang y = a/c

· Giới hạn vô cực limy khi suy ra tiệm cận đứng x = - d /c.

· Tính < 0 hoặc > 0 với mọi x thuộc TXĐ. Suy ra hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

· Lập bảng biến thiên.

B3: Ñồ thị

· Tìm giao điểm với các trục toạ độ

· Vẽ đồ thị với chú ý giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

B. CAÙC BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

I.Tieáp tuyeán

1. Daïng 1: Bieát tieáp ñieåm.

Cho ñoà thò (C): y = f(x). Vieát PTTT taïi M₀( x₀;y₀) thuoäc (C).

B1: pt tiếp tuyến có dạng : y – y₀= f’(x₀)( x – x₀)

B2: Tìm f’(x) suy ra f’(x₀)

B3: Theá x₀, y₀, f’(x₀) vaøo coâng thöùc

2. Daïng 2: Bieát heä soá goùc

Ø Tieáp tuyeán song song vôùi d: y = ax + b Þ HSG cuûa TT :
k = a

Ø Tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi d: y = ax + b Þ HSG cuûa TT :
k = -1/a

Ø Tieáp tuyeán taïo vôùi chieàu döông truïc Ox 1 goùc j Þ HSG cuûa TT : k = tanj

B1: Goïi x₀ laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm, ta coù k = f’(x₀) (1)

B2: Giaûi (1) tìm x₀

B3:Tìm y₀ = f(x₀) Þ PTTT: y – y₀= f’(x₀)( x – x₀)

3/ Daïng 3 :Tieáp tuyeán ñi qua moät ñieåm A(x_A;y_A) cho tröôùc.

Cho ñoà thò ( C ) : y = f(x). Vieát PTTT cuûa ( C ) ñi qua A.

B1: Goïi k laø heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng d qua A thì

d: y – y_A = k(x – x_A )

B2: ÑKTX cuûa d vaø ( C ): hệ có nghiệm

II. bieän luaän söï töông giao cuûa hai ñoà thò:

Cho hai ñoà thò (C) : y = f(x) vaø (D) : y = g(x).Muoán bieän luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (D), ta laøm nhö sau:

B1: Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (D) : f(x) = g(x) (1)

B2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa (1) Þ soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (D)

III. Bieän luaän phöông trình baèng ñoà thò.

Cho ñoà thò ( C ) : y = f(x). Duøng ñoà thò ( C ) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: F(x,m) = 0 (1) ( m laø tham soá)

B1: bieán ñoåi (1) Û f(x) = g(m)

( Ñaây laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûab (C) vaø

(d): y = g(m), d song song Ox)

B2: Khi (d) di chuyeån cho ta soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) Þ soá nghieäm cuûa (1).

IV. Cöïc trò cuûa haøm soá

cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b),

· ÑK caàn :f(x) ñaït cöïc trò taïi x_o Þ f’(x_o)= 0

· ÑK ñuû : f’(x) ñoåi daáu khi x ñi qua x_o

V. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

· PP chung: Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm để xét dấu, lập bảng biến thiên rồi kết luận.

· Đối với bài toán tìm GTNN, GTLN trên 1 đoạn ta làm như sau: Tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn ( nghiệm của đạo hàm hay những điểm mà đạo hàm không xác định nhưng hàm số vẫn xác định). Sau đó tính giá trị của hàm số (y) tại những điểm tới hạn và tại hai đầu mút. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của hàm số.

C. NGUYEÂN HAØM – TÍCH PHAÂN – ÖÙNG DUÏNG

I. Nguyeân haøm :Naém vöõng vaø söû duïng toát caùc nguyeân haøm cô baûn vaø nguyeân haøm môû roäng

II. Tích phaân : naém vöõng hai phöông phaùp tính tích phaân

1/ Ñoåi bieán soá: thöôøng duøng hai daïng sau :

Daïng 1: ñaët (nhớ đổi cận) thường áp dụng khi khi tính tích phân có dạng: .

các dạng thường gặp:

· . đặt t = u(x) quy về tích phân

Vd 1: ,

Đặt

Vd 2:

· , đặt t = u(x) quy về tích phân

Vd 3: I = , đặt t = sinx,

Vd 4:

· , đặt t = u(x) quy về tích phân

Vd 5: , đđặt , dt = 2xdx, x = o thì t = 1, x = 1 thì t = 2 khi đó

Vd 6: J =

+ Đặt t = 1 + sinx dt = cosxdx

+ Đổi cận: x = 0 t = 1 +sin0 = 1; x = t = 1 + sin = 2

+ J = == = =

· , đặt t =cosx. Vd:

· , đặt t = sinx. VD:

· , đặt t = tanx.

· , đặt t = lnx VD:

Daïng 2: Ñaët , ta caàn nhôù laïi caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï

*Daáu hieäu*	*caùch choïn*
()
()	x = atant vôùi
()	vôùi
hoaëc ()

VD: ,,

2. Tích phân từng phần

Các dạng cơ bản: Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

Hay

( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Dạng 1

Vd. ;

Dạng 2:

Đặt

Vd: ;

Dạng 3:

III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

thì

thì ta giải phương trình hoành độ giao điểm giả sử có các nghiệm a < b < c <… Khi đó

2. THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

thì

D. PT – HPT – BPT MŨ – LOGARIT

1. Quy về cùng cơ số

Vd: ;

2. pp đặt ẩn phụ

· Đặt ẩn phụ quy về phương trình, bất phương trình bậc hai: Chú ý mối liên hệ giữa các cơ số.

VD: hay ;

· Chú ý các số hạng nghịch đảo nhau như: và ; và … và

VD: ; ;

· Với dạng mà thì ta chia 2 vế cho (hoặc hay ) sau đó đặt ẩn phụ.

VD:

3. Phương pháp logarit hoá đối với phương trình mũ và mũ hoá đối với phương trình logarit: phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình, bpt dạng tích, thương với các cơ số khác nhau.

VD:

4. pp sử dụng tính đơn điệu của hàm mũ, hàm logarit

Chú ý rằng: hàm mũ và hàm logarit đồng biến khi cơ số lớn hơn 1 và nghịch biến khi cơ số bé hơn 1( cơ số > 0). Phương pháp này thường áp dụng trong các pt có duy nhất nghiệm mà ta dễ đoán nhận được nghiệm này.

VD: ;

E. SỐ PHỨC

· Dạng đại số

Z = a + bi a: phần thực b: phần ảo	Định nghĩa z=a+bi z’=a’+b’i	Tính chất
Cộng	z+z’=(a+a’)+(b+b’)i	Giao hoán, kết hợp
Trừ	z – z’=(a – a’)+(b-b’)i
Nhân	z.z’= aa’ – bb’ + (ab’+a’b)i	Giao hoán, kết hợp, phân phối.
Liên hợp
Mô đun
Chia ()
Căn bậc hai	w = x + yi là căn bậc hai của z nếu
Phương trình bậc hai	Cách giải. tính · Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt với là một căn bậc hai của . · Nếu thì phương trình có nghiệm kép

· Dạng lượng giác

	Định nghĩa	Tính chất
Phép nhân		g.hoán, kết hợp
Phép chia
Luỹ thừa (công thức Moivre)
Căn bậc hai	có hai căn bậc hai là và

F. Thể tích, diện tích của các khối đa diện

Bài toán 1: Tính diện tích xung quanh (S_xq), diện tích toàn phần(S_tp) của khối nón,trụ,cầu.

· Khối nón: S_xq = prl; S_tp = pr(l+ l).

· Khối trụ: S_xq = 2prl; S_tp = 2pr(l + l).

· Khối cầu: S = 4pr² .

Bài toán 2: Tính thể tích các khối đa diện

* Khối hình chóp V = ; * Khối nón V =

* Khối hình trụ V = pr²h ; * Khối cầu V = * Khối lăng trụ: V= Bh.

* Diện tích tam giác:

( R: là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.) (: là nửa chu vi của tam giác.)

G. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

*Daïng toaùn*	Đề cho	Caùch giaûi
Chöùng minh 3 ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng.tính dieän tích tam giaùc ABC	· Toïa ñoä A, B, C	B1:Tính B2:Tính S_ABC =
Chöùng minh 4 ñieåm A, B, C, D khoâng ñoàng phaúng. Tính theå tích töù dieän ABCD	· Toïa ñoä A, B, C, D	B1:Tính B2:Tính , chứng minh V_ABCD =
*Phöông trình maët phaúng* ( Ta cần xác định một điểm trên mp và một vecto pháp tuyến của mp đó)	· Mp qua M vtpt
	Mp qua 3 ñieåm A, B, C cho trước.	B1:Caëp vtcp B2:vtpt B3:Vieát PTMP qua A, VTPT
	Mp qua 3 ñieåm A(a;0;0), B(0;B;0), C(0;0;c)	Phöông trình ñoaïn chaén
	Mp) () qua M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d) cho tröôùc	B1:Tìm vtcp cuûa (d):laø vtpt cuûa Mp () B2:vieát PT mp qua M, vtpt
	Mp () quaM vaø song song với mp(P): ax +by +cz +d = 0 cho tröôùc	B1: () song song với (P) nên phương trình () có dạng: ax +by +cz +d’ = 0 . B2: () qua M suy ra d’.
	· Qua 1 điểm M cho trước và song song với 2 đường thẳng p, q chéo nhau cho trước	B1:Tìm vtcp của 2 đường thẳng p, q B2: Vec to pháp tuyến của mp là vecto tích của hai vec to đó. B3: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm và vecto pháp tuyến.
*Phöông trình ñöôøng thaúng* ( viết phương trình đường thẳng ta cần xác định 1 điểm và 1 vecto chỉ phương của đường thẳng đó)	· Ñöôøng thaúng qua M Vtcp	Ptts: Hoaëc ptct:
	· Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B)	Vieát ptct:
	· Ñöôøng thaúng (d) ñi qua Mvaø vuoâng goùc vôùi mp () cho tröôùc	B1:VTPT cuûa mp (): B2: VTCP cuûa (d): B3:vieát pt(d): Qua M, VTCP
*Phöông trình maët caàu*( cần nắm vững hai dạng pt của mặt cầu và cách tìm toạ độ tâm, bán kính tương ứng mỗi dạng)	· Taâm I(a;b;c) Baùn kính R
	· Tâm I, đi qua điểm A	B1: Bán kính R = IA B2: Viết phương trính mặt cầu biết tâm và bán kính.
	· Đường kính AB	B1: Tâm I là trung điểm AB B2: Bán kính
	· Tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước	B1: bán kính B2: Viết phương trính mặt cầu biết tâm và bán kính.
	· Tâm I và tiếp xúc với đường thẳng () cho trước	B1: bán kính B2: Viết phương trính mặt cầu biết tâm và bán kính.
	· Chöa xaùc ñònh ñöôïc ngay taâm vaø Baùn kính(maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD…)	Taâm Baùn kính
Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu	· Phöông trình mp() · Phöông trình maët caàu (S)	B1:Tìm taâm I, Baùn kính R cuûa (S) B2:Tính d(I, ()) B3:So saùnh d(I, ()) vaø R KL. · Neáu d(I, ()) R thì · Neáu d(I, ()) = R thì · Neáu d(I, ()) R thì (C ) , giao tuyeán laø ñöôøng troøn
*Vieát phöông trình tieáp dieän cuûa maët* *caàu(*tiếp diện là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu). Ta gặp hai dạng: biết tiếp điểm hoặc chưa biết tiếp điểm.	· Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M	B1: Xác định tạo độ tâm I của (S) B2: Tieáp dieän là mặt phẳng qua M, VTPT :
	· Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) song song với mp(P): ax +by +cz +d =0	B1: Tìm tâm I và bán kính R của (S). B2: Do tiếp diện () song song với (P) nên có dạng: ax + by + cz +d’= 0 ( d’d). B3: Tìm d’, do () tiếp xúc (S) nên ta có:
	· Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) vuông góc với đường thẳng d cho trước.	B1: Tìm tâm I và bán kính R của (S). B2: Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d, B3: Tiếp diện () vuông góc d nên nhận làm vecto pháp tuyến. Do đó (): ax +by + cz +d = 0. B4: Tìm d, áp dụng điều kiện tiếp xúc:
Xaùc ñònh taâm vaø Baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa maët phaúng vaø maët caàu	· Phöông trình maët phaúng () · Phöông trình maët caàu (S)	B1:Tìm taâm I, BK cuûa (S), VTPT cuûa () B2:Vieát phöông trình dt(d) qua I vaø vuoâng goùc vôùi () B3:Giaûi heä toïa ñoä taâm H cuûa ñöôøng troøn (C ) B4: Baùn kính :
*Chứng minh song song*	Hai đường thẳng song song	Chứng minh hai vecto chỉ phương của chúng cùng phương ( tích có hướng bằng vecto không) và lấy 1 điểm thuộc dt này chứng minh không thuộc dt kia.
	Đường thẳng song song mp	· Chứng minh hệ phương trình gồm pt của mp và pt của dt vô nghiệm. · Hoặc chứng minh , trong đó lần lượt là vtpt và vtcp của mp và dt. Đồng thời lấy 1 điểm bất kì trên đường thẳng chứng minh nó không thuộc mp.
	Hai mp song song	Bộ 3 hệ số tỉ lệ, bộ 4 không tỉ lệ
*Chứng minh vuông góc*	Hai đường thẳng vuông góc	Chứng minh tích vô hướng của hai vecto chỉ phương = 0.
	Đường thẳng vuông góc với mp	Chứng minh tích có hướng của vecto chỉ phương của dt và vecto pháp tuyến của mp bằng vecto không ( hai vec to cùng phương)
	Hai mp vuông góc	Chứng minh tích vô hướng của hai vecto pháp tuyến = 0.
*Tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước* ( chú ý công thức toạ độ trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, toạ độ hình chiếu của điểm lên các trục toạ độ, các mp tạo độ)	Tìm giao điểm của đt và mp	Giải hệ pt của dt và mp
	Tìm hình chiếu của điểm A lên mp(P).	B1: Viết phương trình tham số của đt d qua A và vuông góc với (P). B2: Giải hệ gồm pt của d và (P). Nghiệm là tạo đô điểm cần tìm.
	Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d	B1: Viết phương trình mp (P) qua A và vuông góc với d B2: Giải hệ gồm phương trình của d và (P). Nghiệm là tạo đô điểm cần tìm.
	Tìm điểm đối xứng qua đt (qua mp)	Tìm hình chiếu lên đt (mp) rồi áp dụng công thức trung điểm suy ra toạ độ điểm cần tìm
	Tìm toạ độ hình chiếu của điểm M(x;y;z) lên mp toạ độ, trục tạo độ	· Hình chiếu của M lên Ox: (x;0;0) · Hình chiếu của M lên Oy: (0;y;0) · Hình chiếu của M lên Oz: (0;0;z) · Hình chiếu của M lên (Oxy): (x;y;0) · Hình chiếu của M lên (Oxz): (x;0;z) · Hình chiếu của M lên (Oyz): (0;y;z)
*Khoảng cách*	Khoảng cách giữa hai điểm A, B.
	Khoảng cách từ điểm M đến mp (): Ax+By+Cz+d=0
	K/C từ điểm M đến đường thẳng qua A có vtcp
	K/C giữa hai đường thẳng chéo nhau lần lượt qua M, M’ có vtcp ,
*Góc*	góc giữa hai đường thẳng có vtcp lần lượt là ,
	góc giữa hai mặt phẳng có vtpt lần lượt là ,
	góc giữa đường thẳng và mặt phẳng	Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng, vậy ta xác định hình chiếu của nó và quy về việc tính góc giữa hai đường thẳng.