Bất Đẳng Thức

CHUYÊN ĐỀ II : BẤT ĐẲNG THỨC

Tiết:13, 14, 15, 16

BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

1. MỤC TIÊU

a. Kiến thức:

- Nắm vững bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic mean and Geometric mean).

- Nắm được phương pháp chứng minh bất đẳng thức AM-GM , đặc biệt là phương pháp quy nạp kiểu Cauchy .

- Ứng dụng bất đẳng thức AM-GM vào một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm các GTLN và GTNN của các biểu thức.

- Bước đầu làm quen với một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM trong một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm các GTLN , GTNN của các biểu thức.

b. Kĩ năng:

- Vận dụng được bất đẳng thức AM-GM chứng minh các bất đẳng thức liên quan và tìm GTLN và GTNN của các biểu thức không quá phức tạp.

- Rèn luyện kĩ năng sử dụng bất đẳng thức AM-GM qua một số kỹ thuật.

c. Tư duy, thái độ:

- Rèn luyện tư duy lôgic và suy luận chặt chẽ cho HS.

- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS (Từ các bài toán mở rộng, khuyến khích HS sáng tác ra các bài toán mới ).

- Tích cực, chủ động trong các hoạt động và học tập.

- Cẩn thận, chính xác trong suy luận.

2. NỘI DUNG BÀI GIẢNG:

BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

I. Bất đẳng thức:

Cho a₁, a₂,...,a_n > 0 : , "n>2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a₁ = a₂ = ...= a_n .

Chứng minh: * Cách 1:

+ Với n = 2: Û > 0, đúng.

Vậy với n = 2, bất đẳng thức đúng và dấu bằng khi a₁ = a₂.

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là "a_i > 0, ta có:

S_k=, và dấu bằng khi a₁ = a₂ = ...= a_k .

Xét khi n = k + 1, và theo gtqn có:

S_k+1 = ,

Dấu bằng khi: a₁ = a₂ = ...= a_k.

Đặt a₁a₂...a_k= a^k(k+1), a_k+1 = b^k+1, ta có:

BĐT trên Û S_k+1-=

==

==

=

Do a, b > 0. Þ ĐPCM.!

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a₁=a₂=...a_n.

* Cách 2: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy (Tài liệu chuyên toán Đại số 10 - Trang 102)

Ví dụ 1:

1. Cho a,b > 0. CMR: (1).

2. Cho a,b > 0. CMR: (2).

3. Tổng quát, cho . CMR (3).

* Lưu ý :

+ Nhiều bài toán áp dụng BĐT (1) dưới dạng: hoặc

+ Tương tự (2) tương đương với hoặc

Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0. CMR : (4)

+ Hướng dẫn: Áp dụng BĐT:

(Lưu ý cho HS khi thi, kiểm tra, nếu sử dụng BĐT này thì phải chứng minh lại)

+ Mở rộng: Áp dụng BĐT (4) đối với các số ta được:

(5)

Từ (4) và (5) ta có bài toán sau:

a)     Cho a, b, c > 0. CMR :

b)     Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : .

CMR: ( Đề thi ĐH Khối A- năm 2005)

Ví dụ 3: Cho a, b, c > 0. CMR:

+ Hướng dẫn: Áp dụng bđt , ta có

+Mở rộng: Nếu cho a + b + c là một số không đổi thì ta tìm được GTLN của biểu thức . Chẳng hạn:

a)     Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 20. Tìm GTLN của biểu thức .

b)     Cho x, y, z > 0 và x + 2y + 4z = 12. Tìm GTLN của biểu thức:

Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0. CMR:

+ Hướng dẫn: Áp dụng bđt , ta có:

( Do chứng minh được: )

+ Mở rộng: Nếu cho a+b+c là một số không đổi thì ta tìm được GTNN của biểu thức

P = . Chẳng hạn:

a) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 9. Tìm GTNN của biểu thức

P = .

b) Cho x, y, z > 0 và x + 2y + 3z = 18. Tìm GTNN của biểu thức

Ví dụ 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:

+ Lời giải:

Ta có

. Dấu đẳng thức xảy ra .

Vậy maxP =, đạt được khi

+ Tương tự ta tìm được GTLN của Q = với a, b, c > 0 và a + b + c = 6

( Phân tích ,...)

+ Tổng quát: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = m.

Tìm GTLN của R = ( k, m > 0 )

 

II. Một số kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM trong chứng minh bất đẳng thức:

1. Kỹ thuật ngược dấu:

Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. CMR:

+ Phân tích: Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức AM - GM với mẫu số vì BĐT sau sẽ bị đổi chiều:

Tuy nhiên, ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo hướng khác để được bất đẳng thức thuận chiều bằng cách phân tích: , sau đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM với mẫu số ta được

+ Lời giải:

Tương tự

(vì ta có ab + bc + ca ). Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. CMR:

Lời giải: .

Tương tự: ; ;

Đẳng thức xảy ra a = b = c = d

Bài tập tương tự:

1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. CMR:

2. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4. CMR:

a)

b)

Hướng dẫn:

1. Phân tích , sau đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM với mẫu số.

2. a) Phân tích như ý 1.

b) Phân tích , sau đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM với mẫu số.

2. Kĩ thuật thêm hạng tử:

Từ việc dự đoán dấu bằng xảy ra, thêm bớt số hạng cho phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức AM-GM ta có thể giảI quyết một số bài toán. Để định hướng đúng, chúng ta thực hiện các bước phân tích bài toán như sau:

+ Dự đoán dấu bằng xảy ra hay các điểm mà tại đó đạt GTLN, GTNN.

+ Từ dự đoán dấu bằng, dự đoán cách đánh giá cho mỗi bài toán đảm bảo nguyên tắc “dấu bằng xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu bằng mà ta đã dự đoán ban đầu”

Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0. CMR:

* Phân tích:

+ Không thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số ở vế trái.

+ Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Khi đó ; Ta phải đánh giá sao cho khử được mẫu số ở vế trái và đảm bảo dấu bằng xảy ra khi a = b = c nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho và b; và c; và a.

* Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c.

Ví dụ 2: Cho a, b, c>0. CMR :

* Phân tích: Bằng cách phân tích tương tự như ví dụ 1, với có hai cách sau:

+ Cách 1: + ab…Sau đó cộng các bđt lại và dùng bđt cơ bản

.

+ Cách 2: ++b² …Sau đó cộng các bđt lại.

Ví dụ 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1.

CMR:

* Phân tích:

Dấu bằng xảy ra a = b = c = 1. Khi đó

Vì vậy ta có cách chứng minh sau:

* Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:

.

Tương tự: ;

Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

 

 

Bài tập tương tự: Cho a, b, c > 0. CMR:

1) .

2)

3)

4)

HD giải:

1) Từ: , hoán vị vòng quanh và a³ + b³ + c³ ³ ab² + bc² + ca² ta được điều cần chứng minh.

2) Từ: , hoán vị vòng quanh và ³ ab + bc + ca, ta được điều cần chứng minh.

3) Từ: , hoán vị vòng quanh và 3(a² + b² + c²) ³ ( a + b + c)² ta được điều cần chứng minh.

4) Từ , hoán vị vòng quanh ta được điều cần chứng minh.