Chuyên đề :
Rút gọn biểu thức
A. MỞ ĐẦU
Hàng năm trong các đề thi môn toán của kỳ thi vào lớp 10- THPT phần rút gọn biểu thức thường chiếm từ 1,5 điểm đến 2điểm. Có những bài rất dễ, rất cơ bản nhưng các em học sinh vẫn làm sai dẫn đến đạt được trọn vẹn số điểm rất khó. Là một giáo viên toán được nhà trường phân công dạy lớp 9 tôi luôn trăn trở và suy nghĩ phải dạy ôn cho các em những gì và làm thế nào để các em học sinh của mình đạt kết quả tốt nhất. Chính vì thế tôi cùng nhóm thầy cô dạy toán của trường THCS Vạn An – T. P Bắc Ninh xây dựng chuyên đề " Rút gọn biểu thức" với mục đích làm tài liệu dạy ôn cho học sinh lớp 9, với mong muốn các em học sinh nắm chắc chuẩn kiến thức, kỹ năng để hiểu và biết cách làm dạng bài " Rút gọn biểu thức".
Chuyên đề " Rút gọn biểu thức" được xây dựng dựa trên kiến thức cơ bản của sách giáo khoa và phát triển dần theo mức độ có đầy đủ các dạng bài phù hợp với từng đối tượng học sinh. Các ví dụ và bài tập đưa ra đều bám sát vào các đề thi vào lớp 10 –THPH của Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh trong những năm gần đây.
B. NỘI DUNG
*Kiến thức lý thuyết cần chú ý:
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
2. Các công thức biến đổi căn thức:
1.
có nghĩa khi A≥0
2.
3.
( Với A 
; B )
4. 
( Với A ; B > 0 )
5.
( Với B )
6. A
= 
( Với A ; B )
A = - ( Với A < 0 ; B )
7. 
( Với AB và B 
)
8. 
( Với B > 0 )
9.
10.
3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.
4. Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử
( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.
* Các dạng bài tập:
- Rút gọn biểu thức số.
- Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn đế:
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;
+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến.
* DẠNG1:RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
I.Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 
.
b/ (
.
c/ 
.
Giải:
a/ = 
= 
= 
.
b/ 
= 
= 
= 
.
c/ = 
= 
.
+ Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 
b/ 
c/ 
Giải:
a/ 
b/
c/ 
+ Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ 
b/ 
c/ 
Giải:
a/
BĐVT ta có :
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b/ 
BĐVT ta có :
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
c/
BĐVT ta có :
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
+ Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 
và 
b/ 
và 
c/ 
và 
Giải:
a/ và
Ta có: 
Và 
Vì 24 < 25 => 
< 
=> 
Hay 
b/ và
Ta có: 
Và 
Vì 
c/ và
Ta có: 
Và 
Vì 75 > 45 => 
*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng
hoặc đưa về hằng đẳng thức
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu…
II. Bài tập:
1. Thực hiện phép tính:
a/ 
;
b/ 
;
c/ 
.
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 
b/ 
c/ 
3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 
và 
;
b/ 
và 
;
c/ 
và 
.
4.Cho 
và 
Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B.
5. Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ 
;
b/ 
;
c/ 
*DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
I. Các ví dụ:
* Ví dụ 1: Cho biểu thức 
với a >0 và a 
a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ So sánh giá trị của M với 1.
Giải: Đkxđ: a >0 và a
a/ 
b/ Ta có 
, vì a > 0 => 
=> 
nên 
Vậy M < 1.
* Ví dụ 2: Cho biểu thức
a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức P.
c/ Tính giá trị của P với 
.
Giải:
a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 
b/ Đkxđ : 
c/ Thay 
vào biểu thức 
, ta có:
* Nhận xét về phương pháp giải:
Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không. Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp. Ta đã trục căn thức ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng.
* Ví dụ 3: Cho biểu thức
với 
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải:
a/ Đkxđ:
b/ Ta có 
, A < 2 tức là 
Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi 
Vậy với 
thì A < 2.
c/ Ta có 
Mà 
nên ta có:
· x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
· x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
· x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )
· x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )
· x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
· x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên.
* Ví dụ 4: Cho biểu thức
với 
và 
a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ : 
và 
a/ 
b/ Ta có 
và B = 3, tức là 
( t/m đkxđ)
Vậy với x = 16 thì B = 3.
* Ví dụ 5: Cho biểu thức
với x > 0 , y > 0
a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0
a/ 
b/ Ta có 
Do đó 
( vì xy = 16 )
Vậy min A = 1 khi 
*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2
(Đây là dạng toán cơ bản và có tính tổng hợp cao)
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán.
+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình.
+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận.
II. Bài tập:
Bài1: Cho biểu thức 
1) Rút gọn A
2) Tìm x để A < –1
Bµi 2: Cho biÓu thøc 
a) Rót gän biÓu thøc A;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.
Bµi 3: Cho biÓu thøc 
a) Rót gän biÓu thøc B;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.
Bµi 4: Cho biÓu thøc 
a) Rót gän biÓu thøc C;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1.
Bµi 5: Rót gän biÓu thøc :
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
Bµi 7: Cho c¸c biÓu thøc 
vµ 
a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q.
Bµi 8: Cho c¸c biÓu thøc 
a) Rót gän biÓu thøc B.
b) Tìm x để B > 0 .
c) Với x > 4 ; x 
, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1).
Bµi 9: Cho biÓu thøc 
a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P;
b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó 
lµ sè tù nhiªn;
c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2
.
Bµi 10: Cho biÓu thøc : 
a) Rót gän biÓu thøc P;
b) T×m x ®Ó 
.
Bµi 11: Cho 
víi x ³ 0. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè x.
Bµi 12: Cho biÓu thøc
M = 
a) Rót gän M.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña M nÕu a=
vµ b=
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M nÕu 
C. KẾT LUẬN
Do thời gian có hạn và mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh đại trà, nên lượng bài tập còn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ, do đó không tránh khỏi thiếu sót, rât mong các đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề của chúng tôi có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn!
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!