CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

                   CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

I. Lý thuyết:

   Cho ΔABC có AB=c, BC=a, AC=b, đường cao AH=h, các trung tuyến  AM=m_a, BN=m_b, CP=m_c.

1.     Định lý côsin:

a² = b² + c² - 2bc.CosA

b² = a² + c² – 2ac.cosB

c² = a² + b² - 2ab.cosC

                      

       Hệ quả:

     

2.   Định lý sin:

3.     Độ dài trung tuyến của tam giác:

4.     Các công thức tính diện tích tam giác:

Với

                      

II. Bài tập:

1. Cho ΔABC  có b=20, c=30 góc A = 60 độ.

   a) Tính chiều cao AH và trung tuyến AM của ΔABC.

   b) Tính các góc còn lại của ΔABC .

   c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r  của ΔABC.

2. Cho ΔABC biết AB=3, AC=7, BC=8

   a) Tính các góc của ΔABC .

   b) Tính diện tích S của ΔABC.

   c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r  của ΔABC.

3. Cho ΔABC biết  BC=9, góc B=60 độ, góc C=45 độ.

   a) Tính độ dài các cạnh AB, AC.

   b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r, diện tích S và độ dài trung tuyến BN của ΔABC.

5.     Giải tam giác ΔABC  biết

a.      a=7, b=23, góc C=130 độ.

b.     c=35, góc A = 40 độ, góc C=120 độ.

c.      a=14, b=18, c=20

5. Cho ΔABC . Chứng minh:

   a) a=bcosC+ccosB

   b) b²-c²=a(b.cosC-c.cosB)

   c) (b²-c²)cosA=a(b.cosB-c.cosC)

   d) .sinC=sinA.cosB+sinB.cosA

6. Cho ΔABC biết độ dài 3 trung tuyến lần lượt bằng 15, 18, 27.

   a) Tính diện tích S của ΔABC.

   b) Tính độ dài các cạnh của ΔABC.

7. Cho ΔABC biết góc A=60 độ, a=10, r=5căn3 /3

   a) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác.

   b) Tính độ dài các cạnh còn lại của ΔABC.

8. Cho ΔABC  có AB=10, AC=4, góc A=60 độ.

   a) Tính chu vi của ΔABC .

   b) Tính tanC .

Câu 9: cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Biết AB=3, BC=8 . Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC.

Câu 10: Cho tam giác ABC có , a=10,

a.     Tính R.

b.    Tính b,c.

Câu 11: Cho tam giác ABC có . Tính góc lớn nhất của tam giác ABC.

Câu 12: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a.     a=b.cosC+c.cosB

b.    sinA=sinB.cosC+sinC.cosB

c.     h_a=2RsinB.sinC

d. 

e.  

Câu 13: cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a.   b+c=2a ó

b.   góc A vuông ó

câu 14: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu cotA=(cotB+cosC) thì b²=(a²+c²).

Câu 15: cho tam giác ABC có , AD là đường phân giác trong (d thuộc BC). Chứng minh rằng:

Câu 16: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a.  

b.    (c² + b² -a²)tanA = (c² + a² - b²)tanB

Câu 17: cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:  . Chứng minh tam giác ABC đều.

Bài 18: Cho tam giác ABC thõa mãn . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.

Bài 19: Nhận dạng tam giác trong các trường hợp sau:

a.     a.sinA+b.sinB+c.sinC=h_a+h_b+h_c.

b. 

Bài 20: cho tam giác ABC thỏa mãn: . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

Bài 21: cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và từ C vuông góc với nhau và có . Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Bài 22: chứng minh tam giác ABC đề khi và chỉ khi

Bài 23:chứng minh tam giác ABC cân tại B khi và chỉ khi: