35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Cho 
có a =12, b =15, c =13
a. Tính số đo các góc của
b. Tính độ dài các
đường trung tuyến của
c. Tính S, R, r
d. Tính
HS: Tự giải
2. Cho có AB = 6, AC= 8, 
a. Tính diện tích
b. Tính cạnh BC và bán kính R
HS: Tự giải
3. Cho có
a = 8, b =10, c =13
a. co
góc tù hay không?
b. Tính bán kính đường
tròn ngoại tiếp
c. Tính diện tích
HS: Tự giải
4. Cho có
tính
độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại
tiếp và
diện tích tam giác
HS: Tự giải
5. Cho AC
= 7, AB = 5 và 
tính
BC, S, 
,
R
HS: Tự giải
6. Cho có
và
a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC
HS: Tự giải
7. Cho có
AB = 3, AC = 4 và diện tích 
.
Tính cạnh BC
HS: Tự giải
8. Tính bán kính đường
tròn nội tiếp biết
AB = 2, AC = 3, BC = 4
HS: Tự giải
9. Tính 
của có các cạnh a, b, c thỏa
hệ thức 
HS: Tự giải
10. Cho .
CMR
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
HS Tự giải
11. Gọi G là trọng tâm và
M là điểm tùy ý. CMR
a. 
b. 
HS Tự giải
12. Cho có
b + c =2a. CMR
a. 
b. 
HS Tự giải
13. Cho biết
a. Tính các cạnh và các góc còn lại
của
b. Tính chu vi và diện tích
HS Tự giải
14. Cho biết
.
Tính ,
cạnh b,c của tam giác đó
HS Tự giải
15. Cho biết
;
;
.
Tính 
và
cạnh c.
HS Tự giải
16. Để lắp đường
dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái
tránh 1 ngọn núi , do đó người ta phại nối thẳng
đường dây từ vị trí A đến vị trí C
dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị
trí B dài 8km. Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và
CB là 
.
Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến
B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?
HS Tự giải
17. 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở
bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết
.
Hãy tính khoảng cách AC và BC.
HS Tự giải
Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, 
và
hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau.
Tính 
.
Hướng dẫn giải:
Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc
với nhau thì .
Mặt khác 
Bài 19. Cho tam giác ABC. Gọi 
lần
lượt là độ dài các đường phân giác góc A,
B, C. Chứng minh rằng.
a. 
b. 
c. 
Hướng dẫn giải:
a. Trước hết chứng
minh công 
bằng sử dụng tam
giác cân tại đỉnh A có 
thông
qua công thức diện tích để đi đến kết
luận trên.
,
,
Mà 
b. 
Tương tự 
c. Ta có 
Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi 
lần
lượt là độ dài các đường trung tuyến
đi qua A, B, C, 
.
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Gọi D là điểm đối xứng của A qua
trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành
Dễ thấy 
Mà 
có ba cạnh 
Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường
tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng 
Với 
Hướng dẫn giải:
Do ABCD nội tiếp nên
Trong tam giác 
có
Trong tam giác 
có
Do đó 
Với
Bài 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Ta có 
Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c là 
chứng
minh rằng tam giác có một góc bằng 
.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện a, b, c là
3 cạnh của tam giác 
Với 
thì
a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất
Tính 
.
Bài 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
a. 
b. 
Hướng dẫn giải:
a. Sử dụng định lí sin và cosin.
b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp
Ta có 
Từ hình vẽ:
Từ (1) và (2) 
Bài 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi 
Hướng dẫn giải:
Theo Hê rong 
Tam giác ABC vuông tại A
Bài 26 Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt là bán kính
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam
giác. Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn giải:
Ta có 
Mà 
Bài 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
a. 
b. 
c. 
d. 
Hướng dẫn giải:
a. BĐT 
b.
c. Từ 
Nên x, y,z dương
thì 
áp
dung vào CM
+ 
+ 
d. 
Bài 28. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải:
Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB
 |
Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông,
+ B là góc tù
Bài 29. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải:
Ta có 
Bài 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập phương các cạnh bé nhất.
Hướng dẫn giải:
khi
tam giác đều
Bài 31. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải:
Tương tự 
Nên 
Bài 32. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
a. 
b 
c. 
Hướng dẫn giải:
a. 
Mà 
b. 
c. 
Ta có 
Tương tự 
, 
Công lại ta có 
Bài 33. Cho tam giác ABC có 
.
Chứng minh rằng 
.
Hướng dẫn giải:
Bài 34. Cho tam giác ABC có 
.
Chứng minh rằng có một góc tù.
Hướng dẫn giải:
Mà 
Bài 35. Tam giác ABC có 
thì
có tính chất gì?
Hướng dẫn giải: 
Ta có 
Mà 
Vậy tam giác ABC có thì
tam giác ABC đều.