Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.
2. E, F nằm trên đường tròn (O).
3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.
4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Lời giải:
1. Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường .
2. (HD) Tứ giác AB'HC' nội tiếp => ÐBAC + ÐB'HC' = 1800 mà
ÐBHC = ÐB'HC' (đối đỉnh) => ÐBAC + ÐBHC = 1800. Theo trên BHCF là hình bình hành => ÐBHC = ÐBFC => ÐBFC + ÐBAC = 1800
=> Tứ giác ABFC nội tiếp => F thuộc (O).
* H và E đối xứng nhau qua BC => DBHC = DBEC (c.c.c) => ÐBHC = ÐBEC => Ð BEC + ÐBAC = 1800 => ABEC nội tiếp => E thuộc (O) .
3. Ta có H và E đối xứng nhau qua BC => BC ^ HE (1) và IH = IE mà I là trung điểm của của HF
=> EI = 1/2 HE => tam giác HEF vuông tại E hay FE ^ HE (2)
Từ (1) và (2) => EF // BC => BEFC là hình thang. (3)
Theo trên E Î(O) => ÐCBE = ÐCAE ( nội tiếp cùng chắn cung CE) (4).
Theo trên F Î(O) và ÐFEA =900 => AF là đường kính của (O) => ÐACF = 900 => ÐBCF = ÐCAE
( vì cùng phụ ÐACB) (5).
Từ (4) và (5) => ÐBCF = ÐCBE (6).
Từ (3) và (6) => tứ giác BEFC là hình thang cân.
4. Theo trên AF là đường kính của (O) => O là trung điểm của AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm của HF => OI là đường trung bình của tam giác AHF => OI = 1/ 2 AH.
Theo giả thiết I là trung điểm của BC => OI ^ BC ( Quan hệ đường kính và dây cung) => ÐOIG = ÐHAG (vì so le trong); lại có ÐOGI = Ð HGA (đối đỉnh) => DOGI ~ DHGA => 
mà OI = 
AH
=> 
mà AI là trung tuyến của ∆ ABC (do I là trung điểm của BC) => G là trọng tâm của ∆ ABC.
Lưu ý kí hiệu Ð có nghĩa là góc.
Comments
Post a Comment