bài 1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) Các đường cao BE,CF cắt nhau tại H.
a)cm tứ giác AEHF.BEFC nội tiếp
b)vẽ đường kính AI của (O).cm tứ giác BHCI là hinh bình hành
c)Đường thẳng qua E và song song với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt BC tại D.Cm 3 điểm A,H,D thẳng hàng.
d)cm AB.CI + AC.BI =AI.BC
Bài 2) Cho đường tròn (0) đường kính AB.Trên tia đối của AB lấy điểm I.Từ I,kẻ 2 tiếp tuyến IC và ID (C và D là 2 tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của AB và CD.Qua I kẻ 1 cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn (0) tại M và N (M nằm giữa I và N).
a)Chứng minh:tứ giác ODIC nội tiếp đường tròn
b)Chứng minh: IM.IN=IH.IO
c)Chứng minh: góc OMH = góc ONH
bài giải
Bài 1.
a/ Vì BE, CF đường cao nên góc AEH = góc AFH = 90dộ -> AEHF nội tiếp ( hai góc đối bù nhau)
góc BFC = góc BEC = 90 độ và là hai góc liên tiếp của tứ giác BFEC -> BFEC nội tiếp
b/ AI đường kính -> IC vuông góc AC -> IC // BH cùng vuông góc AC), AI đường kính -> IB vuông góc AB -> IB // CH (cùng vuông góc AB) -> BI// CH và BH // IC -> BHCI là hình bình hành
c/Đường // tiếp tuyến vẽ từ C cắt BC tại D -> góc DEC = ECx (slt) (yCx tiếp tuyến tại C). Mà góc EBC = góc ECx (cùng bằng 1/2sd cungAC)-> góc ABC = góc DEC -> góc ABD + góc AED = 180 độ-> Tứ giác AED'B nội tiếp -> góc AD'B = góc AEB = 90 độ -> AD vuông góc BC và AH vuông góc BC (H trực tâm tg ABC) -> A,H,D thẳng hàng
d/ Trên AI lấy điểm M sao cho góc MCA = góc ICB -> tgAMC và tg BIC đồng dạng(góc MCA = góc ICB, gócIAM = góc CBI) -> AM/BI = AC/BC -> AC.BI = AM.BC (1)
hai tg MIC và ABC đồng dạng (góc MCI = góc BCA, MIC = góc ABC) -> MI/AB = IC/BC-> AB.IC = MI.BC (2) , cộng (1) và (2) -> AC.BI + AB.IC = AM.BC + MI.BC = BC(AM + MI) = BC.AI
Vậy AB.CI + AC.BI =AI.BC
(Câu c là định Pôtelemê cho tứ giác nội tiếp
Bài 2.
a/ Tứ giác ODIC nội tiếp tiếp được vì góc OCI = góc ODI = 90 độ
b/Hai tg ICM và INC có góc I chung và góc ICM = góc CNI (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây = 1/2 sđ cung CM) -> IC/IN = IM/IC -> IC^2 = IN.IM (1). Áp dụng htl trong tg vuông ICO -> IC^2 = IH.IO (2)
So sánh (1) và (2) -> IM.IN = IH.IO
c/ Theo trên IM.IN = IH.IO -> IM/IH = IO/IN và góc I chung -> tgIMH và tg ION đồng dạng (cgc)
-> góc IHM = góc INO -> góc INO + MHO = 180 độ (vì góc MHO + góc IHM = 180 độ) -> Tứ giác MHON nội tiếp -> góc OMH = góc ONH
a)cm tứ giác AEHF.BEFC nội tiếp
b)vẽ đường kính AI của (O).cm tứ giác BHCI là hinh bình hành
c)Đường thẳng qua E và song song với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt BC tại D.Cm 3 điểm A,H,D thẳng hàng.
d)cm AB.CI + AC.BI =AI.BC
Bài 2) Cho đường tròn (0) đường kính AB.Trên tia đối của AB lấy điểm I.Từ I,kẻ 2 tiếp tuyến IC và ID (C và D là 2 tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của AB và CD.Qua I kẻ 1 cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn (0) tại M và N (M nằm giữa I và N).
a)Chứng minh:tứ giác ODIC nội tiếp đường tròn
b)Chứng minh: IM.IN=IH.IO
c)Chứng minh: góc OMH = góc ONH
bài giải
Bài 1.
a/ Vì BE, CF đường cao nên góc AEH = góc AFH = 90dộ -> AEHF nội tiếp ( hai góc đối bù nhau)
góc BFC = góc BEC = 90 độ và là hai góc liên tiếp của tứ giác BFEC -> BFEC nội tiếp
b/ AI đường kính -> IC vuông góc AC -> IC // BH cùng vuông góc AC), AI đường kính -> IB vuông góc AB -> IB // CH (cùng vuông góc AB) -> BI// CH và BH // IC -> BHCI là hình bình hành
c/Đường // tiếp tuyến vẽ từ C cắt BC tại D -> góc DEC = ECx (slt) (yCx tiếp tuyến tại C). Mà góc EBC = góc ECx (cùng bằng 1/2sd cungAC)-> góc ABC = góc DEC -> góc ABD + góc AED = 180 độ-> Tứ giác AED'B nội tiếp -> góc AD'B = góc AEB = 90 độ -> AD vuông góc BC và AH vuông góc BC (H trực tâm tg ABC) -> A,H,D thẳng hàng
d/ Trên AI lấy điểm M sao cho góc MCA = góc ICB -> tgAMC và tg BIC đồng dạng(góc MCA = góc ICB, gócIAM = góc CBI) -> AM/BI = AC/BC -> AC.BI = AM.BC (1)
hai tg MIC và ABC đồng dạng (góc MCI = góc BCA, MIC = góc ABC) -> MI/AB = IC/BC-> AB.IC = MI.BC (2) , cộng (1) và (2) -> AC.BI + AB.IC = AM.BC + MI.BC = BC(AM + MI) = BC.AI
Vậy AB.CI + AC.BI =AI.BC
(Câu c là định Pôtelemê cho tứ giác nội tiếp
Bài 2.
a/ Tứ giác ODIC nội tiếp tiếp được vì góc OCI = góc ODI = 90 độ
b/Hai tg ICM và INC có góc I chung và góc ICM = góc CNI (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây = 1/2 sđ cung CM) -> IC/IN = IM/IC -> IC^2 = IN.IM (1). Áp dụng htl trong tg vuông ICO -> IC^2 = IH.IO (2)
So sánh (1) và (2) -> IM.IN = IH.IO
c/ Theo trên IM.IN = IH.IO -> IM/IH = IO/IN và góc I chung -> tgIMH và tg ION đồng dạng (cgc)
-> góc IHM = góc INO -> góc INO + MHO = 180 độ (vì góc MHO + góc IHM = 180 độ) -> Tứ giác MHON nội tiếp -> góc OMH = góc ONH
Comments
Post a Comment