Bài 35 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3. Chứng minh AM2 = AE.AC.
4. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .
5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Lời giải:
1. Theo giả thiết MN ^AB tại I => ÐEIB = 900; Ð ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ÐACB = 900 hay ÐECB = 900
=> ÐEIB + ÐECB = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp .
2. Theo giả thiết MN ^AB => A là trung điểm của cung MN => ÐAMN = ÐACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ÐAME = ÐACM. Lại thấy ÐCAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3. Theo trên DAME ~ D ACM => 
=> AM2 = AE.AC
4. ÐAMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN ^AB tại I => DAMB vuông tại M có MI là đường cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) .
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM vuông tại I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI .
5. Theo trên ÐAMN = ÐACM => AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp D ECM; Nối MB ta có ÐAMB = 900 , do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp D ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 ^BM.
Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp D ECM có bán kính là O1M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O1 bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM.
Lưu ý kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.