Bài tập toán hình 9 ôn thi giữa kì 1

 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi K là trung điểm AH. Đường tròn tâm K bán kính AK cắt đường tròn (O) đường kính BC tại I và cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E, F. AI cắt BC tại M.

Chứng minh:

a. AEHF là hình chử nhật và EF² = AI.AM

b. MK ⊥ OA.

giải:
a. xét tam giác AEH, ta có:

• ∆AEH nội tiếp đường tròn (K)
• AH là đường kính của đường tròn (K)

=>∆AEH vuông tại E.

xét tam giác AFH, ta có:

• ∆AFH nội tiếp đường tròn (K)
• AH là đường kính của đường trong (K)

=>∆AFH vuông tại F.

xét tứ giác AEHF, ta có:

• góc EAF vuông (gỉ thuyết)
• góc AEH vuông (chứng minh trên)
• góc AFH vuông (chứng minh trên)

=>tứ giác AEHF là hình chử nhật. (tứ giác có 3 góc vuông)

b. kéo dài IH cắt đường tròn (O) tại J.

=>tam giác AIJ vuông tại I

=>AJ là đường kính (∆AIJ nội tiếp)

=>AJ đi qua O. (nghĩa là A,O,J thẳng hàng)

xét tam giác AHJ, ta có:

• K là trung điểm của AH (giả thuyết)
• O là trung điểm của AJ (AJ là đường kính của đường tròn (O))

=>KO là đường trung bình của tam giác AHJ

=>KO//HJ  (1)

xét tam giác AHI ta có:

• ∆AHI nội tiếp đường tròn (K)
• AH là đường kính của đường tròn (K)

=>AHI vuông tại I.

=>AM ⊥ HJ  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: KO ⊥ AM

xét tam giác AMO, ta có:

• AH là đường cao (giả thuyết)
• OK là đường cao (chứng minh trên)
• AH và OK cắt nhau tai K

=> K là trực tâm.

MK ⊥ AO (MK là đường cao thứ 3)

bài 1b thầy giải ở đây luôn nha, Thầy thường thức khuya nên sáng hay ngủ bù, đôi lúc không thức nỗi....

1.b chứng minh KE.cosE + KF.sinE = EF

có 2 cách chứng minh, thày làm cả hai. Em cũng học cả 2 để nâng cao khả năng suy nghỉ với ghi nhớ nhiều kiến thức.

cách 1 (dùng tính chất góc phụ của lượng giác)

trong tam giác KEF thì góc E phụ góc F nên:

sinE=cosF

xét tam giác KFH, ta có:

KF.cosF =FH (*)

=>KF.sinE=FH (sinE=cosF)

xét tam giác EKH , ta có:

KE.cosE = EH (**)

từ (*) và (**) ta có:

KE.cosE + KF.sinE = EH + FH =EF.

cách 2 : biến lượng giác thành cạnh rồi tính tiếp (^^), cách này dành cho mấy đứa thích hình học 8 suy nghĩ theo cạnh của tam giác.

xét tam giác KEF ta có:

• cosE=KE/EF
• sinE=KF/EF

=>KE.cosE + KF.sinE = KE.KE/EF +KF.KF/EF

=KE²/EF +KF²/EF 

=(KE² + KF²)/EF

=EF²/EF  ( vì KE² + KF² =EF^{2 định lý pitago)}

=EF