Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

1) Cho x,y,z >0 và x+y+z =1 . Tìm GTLN của P= x/( x+1) + y/( y+1) + z/(z+1)

2) Cho x,y,z >= 0 và x+y+z <= 1 Tìm GTNN của F= 1/(x^2 +2yz) + 1/(y^2 +2zx) + 1/(z^2+2xy)

3) Cho x,y,z >= 0 và x+y+z = 1 CMR 1/( x^2+y^2+z^2) + 1/xy + 1/yz + 1/xz >= 30

on Đặt Câu Hỏi

giải:

bài 1: Cho x,y,z >0 và x+y+z =1

Tìm giá trị lớn nhất:

S=

Xét S₁=

Áp Dụng hệ quả Bunhiacposki ta có:

=>S₁

=>S lớn nhất khi S₁ nhỏ nhất:

=>S_max=3-S_1min=3- =

2) Cho x,y,z >= 0 và x+y+z <= 1 Tìm GTNN của F= 1/(x^2 +2yz) + 1/(y^2 +2zx) + 1/(z^2+2xy)

F=

Áp dụng cosi

a²+b²2ab, dấu bằng xảy ra khi a=b

=>F

dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1/3.
=>Fmin=9.

=> x²+y²+z²=1 là lớn nhất khi x=1, y=z=0 hoặc y=1, x=z=0, hoặc z=1, x=y=0.

Vậy F_min=3

3) Cho x,y,z >= 0 và x+y+z = 1 CMR 1/( x^2+y^2+z^2) + 1/xy + 1/yz + 1/xz >= 30

Theo cauchy ( cô si) ta cóab dấu bằng xảy ra khi a=b

=> đấu bằng xảy ra khi a=b=> nhỏ nhất=

=>

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=

=>