Giải phương trình bậc 3

Phương pháp Cardano

Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipione del Ferro và Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.

Trước tiên, chia phương trình cho α₃ để đưa về dạng

Đặt x = t - a/3 và biến đổi ta có phương trình

 trong đó  và 

Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.

Ta sẽ tìm các số u và v sao cho

 và 

một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt

 có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức

Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có

Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có

Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u³. Khi giải, ta tìm được

Vì t = v − u và t = x + a/3, ta tìm được

Chú ý rằng, có sáu giá trị u tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu (), và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với ). Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu p = 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e. . Thứ hai, nếu p = q = 0, thì ta có x = −a/3.

Phương pháp tổng hợp và lượng giác cho mọi trường hợp

Đây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba: 

Đặt các giá trị:

 

1) Nếu 

1.1) |k| ≤ 1: Phương trình có ba nghiệm

1.2) |k| > 1: Phương trình có một nghiệm duy nhất

2) Nếu : Phương trình có một nghiệm bội

3) Nếu : Phương trình có một nghiệm duy nhất