Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong đề cương trường THPT Bình Hưng Hòa

Giải một số bài Toán khó trong đề cương trường THPT Bình Hưng Hòa

 

Bài 1: giải phương trình:

(x+1)=x²+1

Điều kiện x+1≥0

Đặt u=

V=x+1

=>u²+2v=x²-2x+3+2x+2=x²+5

Ta có:

(x+1)=x²+1

<=>(x+1)=x²+5-4

<=>v.u=u²+2v-4

<=> u²-u.v+2v-4=0

<=>u²-u.v+ +2v-4=0

<=>)-()=0

<=>

<=>(u-2)(u-v+2)=0

=>

Với u-2=0

=>=2

=>x²-2x-1=0

=>x=1

Với u-v+2=0

=>-x+2=0

=>=x-2

=>x²-2x+3=x²-4x+4 (x-2≥0)

=>2x=1

=>x= (loại)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x=1

Bài 2: cho 2 số x,y thỏa mãn x+2y=1. Cm: x²+y²≥

Ta có: x+2y=1 =>x=1-2y

Vậy: x²+y²=(1-2y)²+y²

                   =1-4y+4y²+y²

                    =5y²-4y+1

                   =

                   =()²+

                   ≥

Vây: x²+y²≥

Bài 3: cho x,y >0. Chứng minh bất đẳng thức:

(1+xy)()≥4

Cách 1: áp dụng cosi:

1+xy≥2

Nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có:

(1+xy)()≥ =4

Cách 2 không áp dụng cosi:

(1+xy)()≥4

<=>+y+x-4≥0

<=>

<=>()² +()²≥0 (luôn đúng)

Vậy: (1+xy)()≥4

Bài 3: giải phương trình:

<=>

Đặt t= , t≥0

=>t²=4+

Thay vào ta được:

=>t³-3t-2=0

=>(t+1)(t²-t-2)=0 (ta dự đoán nghiệm sau đó chi đa thức)

=> t²-t-2=0 (vì t+1>0)

=>t=-1 (loại) hoặc t=2 (nhận)

Thay vào chổ t² ta được:

4=4+

=>=0

=>

=>

Bài 4: giải phương trình:

X(x-1)+12=36

<=>x²-x+12- 36=0

<=>x²-2x+1-1+x+12- 36=0

<=>(x-1)²-(1-x-12+ 36)=0

<=>(x-1)²-(-6)²=0

<=>(x-1+-6)(x-1-+6)=0

<=>(x-7+)(x+5-)=0

<=>

Phương trình vô nghiệm.

Phương trình  có 1 nghiệm  x=-3

Bài 5:giải phương trình:  x=x²-4

Đặt u= ;v=x

Ta có:

u²-v²=x²+5-x²=5

vậy ta có hệ:

=>

Lấy vế cộng vế ta được:

9u²-9v²+5uv=5u²

=>4u²-9v²+5uv=0

=>4u²-4v²+5uv-5v²=0

=>4(u²-v²)+5v(u-v)=0

=>(u-v)[4(u+v)+5v]=0

=>(u-v)(4u+9v)=0

=>

Với u-v=0

=>u=v

=>=x

=>x²+5=x² (vô nghiệm)

Với 4u+9v=0

=>4+9x=0

=>4=-9x

=>16(x²+5)=81x²  (x≤0)

=>65x²=80

=>

=>x=  (vì x≤0 nên loại nghiệm dương)

Bài 6: tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

 với x>

Dấu bằng xảy ra khi x=, do đề yêu cầu xét x> nên cách này không dùng được.

Ta xét

Với x₁,x₂𝛜(;+∞) và x₁<x₂

Ta có:

f(x₂)-f(x₁)=

=

=

=

=(x₂-x₁)()

Vì x₁<x₂ nên x₂-x₁ >0

Và x₁,x₂𝛜(;+∞) nên: 8x₁-2>10; 8x₂-2>10

=>

Vậy:

Do đó: f(x₂)-f(x₁)>0

=>hàm số đồng biến trên (;+∞)

Vậy f(x)_min=f()=6+=6,1.

ở đây x≥ (có dấu bằng mới tìm được f min)