bài tập Định Lý Vi-et

1)    Cho pt (x+m-2) [x^2 +2(m+2) x+4m-8 ] =0 
Tìm m để pt có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm 

2) Cho pt: (2x^2-4x+a+5)(x^2-2x+a) (|x-1|-a-1) =0 
Tìm a để pt có đúng 3 nghiệm phân biệt 

Giải:

Bài 1: (x+m-2) [x² +2(m+2) x+4m-8 ] =0 

Ta thấy phương trình đã cho luôn có 1 nghiệm x=2-m.

Trong phương trình: x² +2(m+2) x+4(m-2)=0

Ta có: x₁+x₂=S=-2(m+2),x₁.x₂= P=4(m-2)

Đề bài yêu cầu: 2 nghiệm dương, 1 nghiệm âm do đó:

+nếu x=2-m dương=>2-m>0=>2>m

thì còn 1 nghiệm đương và 1 nghiệm âm

=>P<0=>4(m-2)<0=>m<2

Ta thấy m<2 thỏa..

+nếu x=2-m âm=>2-m<0=>2<m

Thì còn 2 nghiệm dương:

=>P>0=>4(m-2)>0=>m>2

Ta thấy mâu thuẫn.

+nếu x=2-m=0=>m=2 thì:

x² +2(m+2) x+4(m-2)=0<=>x²+4x=0=>x=0 và x=-4

cũng không thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy m<2 là giá trị cần tìm.

2)    Cho pt: (2x^2-4x+a+5)(x^2-2x+a) (|x-1|-a-1) =0 

Tìm a để pt có đúng 3 nghiệm phân biệt 

Giải: (2x²-4x+a+5)(x²-2x+a) (|x-1|-a-1) =0

<=>(2x²-4x+2+a+3)(x²-2x+1+a-1) (|x-1|-a-1) =0

<=>[2(x-1)²+a+3][(x-1)²+a-1] (|x-1|-a-1) =0

=>

Ta thấy a+3a-1-a-1

Ta có các trường hợp sau:

Nếu a=1 ta có: =>

=>

Có 3 nghiệm, thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu a=-3 ta có:

Có 3 nghiệm, thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu a=-1 thì: =>

Có 3 nghiệm, thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu a<-3 thì ta có: a+3<0, a-1<0, -a-1>0,

Hệ có 4 nghiệm, không thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu -3<a<-1 thì a+3>0, a-1<0, -a-1>0

Hệ có 2 nghiệm không thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu -1<a<1 thì: a+3>0, a-1<0, -a-1<0

ở đây ta xét:

·        Nếu =a+1=>a=0 và a=-3, thay lên trên ta thấy hệ có 2 nghiệm.

·        Nếu -=-a-1, như trên.

Do đó trong trường hợp này hoặc hệ có 2 nghiệm hoặc có 4 nghiệm nên khoan thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu a>1, thì a+3>0, a-1>0, -a-1<0

Hệ có 2 nghiệm, không thỏa yêu cầu bài toán.

Kết luận: a=-3, a=1, a=-1 thỏa yêu cầu đề bài.