Bài toán lớp 10 nâng cao.

Cho hàm số y = x2 - 2x - 3 có đồ thị © và đường thẳng Δ : y = mx -m +1 ( tham số m).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, Δ luôn cắt © tại hai điểm phân biệt A và B.

b) Tìm giá trị của m để AB nhỏ nhất. Giải giùm e câu b với !!! THANKS

 giải:

a.

xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Δ:

x² - 2x – 3= mx -m +1

<=>x²-(m+2)x+m-4=0 (*)

Có Δ=(m+2)²-4(m-4)=m²+2m+4-4m+16=m²-2m+4+16=(m-2)²+16>0 với mọi m. vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay  Δ luôn cắt © tại hai điểm phân biệt A và B.

b. gọi x₁ và x₂ là 2 nghiệm của (*), không mất tính tổng quát ta có:

A=(x₁,mx₁-m+1), B=(x₂,mx₂-m+1),( ta thay vào Δ để tìm tung độ)

=>vecterAB=(x₂-x₁,m(x₂-x₁))

=>AB²=(x₂-x₁)²+m²(x₂-x₁)²=(m²+1)(x₂-x₁)².=(m²+1)(x₁²+x₂²-2x₁x₂)

          =(m²+1)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂)]

Áp dụng vi-et vào (*) ta có:

·        X₁.x₂=c/a=m-4

·        X₁+x₂=-b/a=m+2

Thay lên ta được:

AB²=(m²+1)[(m+2)²-4(m-4)] =(m²+1)(m²+4m+4-4m+16)=(m²+1)(m²+20)

Dể thấy AB² nhỏ nhất khi m=0.=>AB nhỏ nhất khi m=0.