Câu 14 - Toán Cao Cấp - Đại Học Sài Gòn

Câu 14 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) y = xsinx

Đặt u= x, v= sinx => y = u.v. Ta có:

u' = 1, u'' = 0, u^(k) = 0, k  2;

v' = cosx = sin(x + ), v'' = cos(x + ) = sin(x + 2), v^(m) = sin(x + m).

Suy ra             y' = sinx + x sin(x + ) = xsinx – cos(x + ).

Với n  2 ta có:

y⁽ⁿ⁾ = (uv)⁽ⁿ⁾ =  u^(k)v^(n-k) = uv⁽ⁿ⁾ +  u'v^(n-1)

            = xsin(x + n) + nsin(x + (n – 1))

            = xsin(x + n) - ncos(x + n).

Kết luận y⁽ⁿ⁾ = xsin(x + n) - ncos(x + n), n  1.

b) y = x²cosx

Đặt u= x, v= cosx => y = uv. Ta có:

u' = 2x, u'' = 2, u^(k) = 0, k  3;

v' = - sinx = cos(x + ), v'' = - sin(x + ) = cos(x + 2),

v^(m)= cos(x + m).

Suy ra             y' = 2xcosx +  x²cos(x + ) = x²cos(x + ) + 2xsin(x + ).

Với n  2 ta có:

y⁽ⁿ⁾ = (uv)⁽ⁿ⁾ =  u^(k)v^(n-k) = uv⁽ⁿ⁾ +  u'v^(n-1) +  u''v^(n-2)

= x²cos(x + n) + 2nxcos(x + (n – 1)) + n(n – 1)cos(x + (n – 2)).

            = (x² – n²+ n) cos(x + n) + 2nxsin(x + ).

   Kết luận y⁽ⁿ⁾ = (x² – n²+ n) cos(x + n) + 2nxsin(x + ), n  1.

c) y = x³e^x

Đặt u= x³, v= e^x => y = uv. Ta có:

u' = 3x², u'' = 6x, u''' = 6, u⁽⁴⁾ = 0.

v' = e^x, v'' = e^x, v^(m) = e^x =const

y⁽ⁿ⁾ = (uv)⁽ⁿ⁾ = v(u)⁽ⁿ⁾ = n!e^x, 3  n  1;

y⁽ⁿ⁾ = 0, n  3

d) y = 

Ta có:  y' =  ; y'' = 

Ta chứng minh          y⁽ⁿ⁾ =        (1)

Với n = 1, (1) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là

                                    y^(k) = 

với n = k+1, ta có

y^{(k + 1)} =  =  =  

=

Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1. Ta kết kuận

                                    y⁽ⁿ⁾ =        với mọi n 1.

e) y = x⁴lnx

Đặt u = x⁴, v = lnx => y = uv Ta có

u' = 4x³, u'' =12x², u''' = 24x, u⁽⁴⁾ = 24, u⁽⁵⁾ = 0; k  5.

v' =  , v'' =  , v^(m) =   , m  1

Suy ra y' = 4x³lnx + x⁴ = 4x³lnx + x³ .

Với n  5 ta có:

y⁽ⁿ⁾=(uv)⁽ⁿ⁾= u^(k)v^(n-k)=uv⁽ⁿ⁾+ u'v^(n-1)+ u''v^(n-2)+ u'''v^(n-3)+u⁽⁴⁾v^(n-4)

    

     = x⁴  + 4nx³  + 6n(n – 1)x² +

      + 4n(n – 1)(n – 2)x  + n(n – 1)(n – 2)(n – 3).

Kết luận  y⁽ⁿ⁾ = x⁴  + 4nx³  + 6n(n –1)x² 

      + 4n(n – 1)(n – 2)x  + n(n – 1)(n – 2)(n – 3).

Với mọi n  5

f) y =  

Ta có: y =  = . (*)

            y =  = 

. 

Xét u =  , ta có  ; 

Ta chứng minh                 (1)

Với m = 1, (1) đúng.

Giả sử (1) đúng với m = k, nghĩa là

Với m = k + 1, ta có

Vậy (1) cũng đúng với m = k + 1. Kết luận

  , m  1.

Vậy y⁽ⁿ⁾ = .