Ôn thi Học Kì 2 lớp 11 phần Hình Học

Ôn thi Học Kì  2 lớp 11 phần Hình Học Bài 5, Bài 9

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA Ʇ (ABCD), SA=a. Tính góc giữa:

a.   Các cạnh bên và mặt đáy.

b.   SC và mặt bên (SAD)

c.    SB và mặt phẳng (SAC)

Giải:

a.   Góc giữa (SAB) và (SAD) với mặt đáy bằng 90 độ.

v Tính góc giữa (SCD) và mặt đáy:

Ta có:

ü SA Ʇ CD

ü AD Ʇ CD

=>CD Ʇ (SAD) =>CD Ʇ SD.

Vậy hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) có giao tuyến CD, và giao tuyến cùng vuông góc với SD và AD nên góc giữa hai mặt phẳng này là góc SDA .

Mà:

ü SA Ʇ AD (Giả thuyết)

ü SA=AD=a (giả thuyết)

=> tam giác SDA là tam giác vuông cân, nên góc SDA bằng 45 độ.

v Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy:

Chứng minh tương tự ở trên ta cũng có góc bằng 45 độ.

b.   Tính góc giữa SC và (SAD)

Ta có: CD Ʇ (SAD) chứng minh trên nên.

ü S chiếu vuông góc lên (SAD) thành điểm S.

ü C chiếu vuông góc lên (SAD) thành điểm D.

=>SC chiếu vuông góc lên (SAD) thành SD.

Vậy góc cần tính là góc CSD.

Tam giác SCD có:

ü SD= a√2 (vì SAD vuông cân)

ü CD=a giả thuyết.

ü SC=a√3 (dựa và tam giác SAC tính ra)

=>SC²=SD²+CD²  , suy ra tam giác SCD vuông tại D.

(từ đây ta có thể làm theo sin, cos, tan rất đơn giản, nhưng T sẽ làm cách khác để ôn lại kiền thức)

Áp dụng cho mọi tam giác, ta có:

CD²=SC²+SD²-2.SC.SD.cos(CSD)

=>cos(CSD) =4a²/2.a².√6=√2/√3

=>góc CSD=arccos(√2/√3)

c. tính góc SB với (SAC)

gọi I là tâm của hình vuông ABCD (giao điểm của AC với BD)

khi đó ta có:

ü SI Ʇ SA [vì SA Ʇ (ABCD)]

ü SI Ʇ AC (tính chất giao điểm 2 đường chéo trong hình vuông)

=>SI Ʇ SAC.

Vậy khi chiếu SB lên (SAC) thì nó thành SI.

Do đó góc cần tính là góc BSI.

Xét tam giác SBD ta có:

ü SB=a√2 (vì tam giác SAB vuông cân có cạnh bên bằng a)

ü SD= a√2 (vì tam giác SAD vuông cân có cạnh bên bằng a)

ü BD= a√2 (vì tam giác BCD vuông cân có cạnh bên bằng a)

ð Tam giác SBD đều

ð SI là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác trong tam giác đều SBD

Vậy góc BSI=60/2=30 độ.

Cho hình chóp     S.ABC, ∆ABC    đều cạnh a, gọi H là trung đểm của AB, SH Ʇ (ABC), SH=a√3/2, tính góc giữa:

a.   SA với mp (ABC)

b.   SC với mp (ABC)

c.    SH với mp (SBC)

Giải:

a.   SA với (ABC)

Theo đề bài SH vuông với (ABC) nên SA chiếu vuông góc lên (ABC) là AH.

Vậy góc cần tính là góc SAH.

Xét tam giác SAH.

ü Vuông tại H

ü SH= a√3/2

ü AH=a/2

=>tanSAH=SH/AH=√3

=>góc SAH= 60 độ.

(Suy ra tam giác SAB đều cạnh a)

b.   Tính góc giữa SC và (ABC)

Tương tự như trên SH vuông với (ABC) nên SC chiếu lên (ABC) là HC. Nên góc cần tính là góc SCH.

Xét tam giác SCH ta có:

ü SH Ʇ HC (SH Ʇ (ABC))

ü SH=HC (cùng là hai đường trung tuyến của hai tam giác đều có cạnh cùng bằng a)

ð Tam giác SCH vuông cân tại H.

ð Góc SCH=45 độ.

c.    Tính góc giữa SH và (SBC)

Gọi I là trung điểm của BC, =>AI Ʇ BC (vì ABC đều)

Vẽ HN//AI =>HN Ʇ BC và N là trung điểm của BI.

Ta có:

ü BC Ʇ HN

ü BC Ʇ SH

=>BC Ʇ (SHN) (*)

Trong tam giác AHN kẻ HM Ʇ SN

Khi đó, ta có:

ü HM Ʇ SN

ü HM Ʇ BC (vì (*) )

ð HM Ʇ (SBC)

ð SH chiếu lên (SBC) là SM

Vậy góc cần tính là góc HSM

Xét tam giác SHN ta có:

ü Vuông tại H

ü SH= a√3/2

ü HN=AI/2= a√3/4  (AI=HC=SH)

=>tan(HSN)=HN/SH=1/2

=>góc HSN=arctan(1/2)

Kết luận góc cần tìm: góc HSM = góc HSN = arctan(1/2).