Chuyên Đề Phương Trình Bậc 2



Bài 1 :  Giải các phương trình sau:

a/  3x2 + 2( - 1)x - 4 - 8 = 0

b/  x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m – 8 = 0

c/  x2 – 2(a + 1)x + 6a – 3 = 0

d/  m2x2 + x  - 2 = 0

e/  (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0

 

Bài 2 : Cho pt : x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0

a/ Định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm còn lại.

b/ Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

c/ Định m để pt có hai nghiệm thoả –3< x1< x2 < 6

d/ Định m để pt có nghiệm này bằng bình phương của nghiệm kia.

 

Bài 3 :  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a/  (2x2 + 3x  - 1)2 – 5(2x2 + 3x+ 3) + 24

b/  2x3 – (a + 2)x2 – ax + a2

c/ 2x2 – 3xy – 2y2 – 8x + y + 6

d/ x4 – 10x2 – 2(a – 11)x2 + 5(5a + 6)x + 2a + a2

e/  -2x3 + 3xy + x + 2y2 + 13y + 15

 

Bài 4 :  Đơn giản các biểu thức sau :

         A =

         B =

 

Bài 5 :  Giải và biện luận phương trình :

            

 

Bài 6 :  Giải và biện luận pt (x là ẩn số)

(2m2 – 3m – 2)x2 + (m2 + 7m + 2)x – m2 – 2m = 0

 

Bài 7 :  Xét các pt :  ax2 + bx + c = 0 (1).

                                 cx2 + bx + a = 0 (2)

Tìm hệ thức giữa a,b,c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có nghiệm chung duy nhất.

 

Bài 8 :  Cho pt (ẩn x) : ax2 + bx + c = 0

               Biết rằng a 0  và 5a + 4b + 6c = 0

Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bài 9 :  Chứng minh phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm nếu một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn :

      1/ a(a + 2b + 4c) < 0

      2/ 5a + 3b + 2c = 0

      3/ 14a + 6b + 3c = 0

 

Bài 10 :   Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a>0, b> a + c. CMR: pt : ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.

 

Bài 11 :Cho a, b, c là các số bất kì, đều khác 0 và thoả mãn điều kiện: ac + bc + 3ab  0.CMR: pt

sau luôn có nghiệm:

(ax2 + bx + c)(bx2 + cx + a)(cx2 + ax + b) = 0.

 

Bài 12 : Biết rằng : a + b + c < 0 và phương trình bậc hai  ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm.

Chứng minh rằng : c < 0.

 

Bài 13 : CMR phương trình bậc hai :

(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 (x là ẩn số) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.

 

Bài 14 : CMR với mọi a,b,c thỏa điều kiện a + b + c 0 pt : a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 có nghiệm.

 

Bài 15 : a/  Giả sử p = abc là số nguyên tố. CMR pt : ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỉ.

b/ Nếu x2 + ax +b = 0 có các nghiệm hữu tỉ (a,b thì các nghiệm đó là những số nguyên.

 

Bài 16 : Với giá trị nguyên nào của k, các nghiệm của pt :      kx2 + (2k – 1)x + k - 2 = 0 là các số hữu tỉ.

 

Bài 17 : CMR bất kỳ 2 số thực a và b không đồng thời bằng không thì pt :    có các nghiệm thực.

 

Bài 18 : Cho pt bậc hai : (x là ẩn số)

x2 – 2(a + b + c)x + 3ab + 3ac + 2bc + (1) CMR pt (1) luôn luôn có nghiệm.

Khi (1) có nghiệm kép, hãy xác định a, b, c biết :

a + b2 + c3 = -2.

 

Bài 19 : Với giá trị nào của m thì pt (ẩn x) sau :

(m5 – 2m4 + m + 4)x2 + (3m3 + m + 4)x + (m2 + m) = 0 có nhiều hơn hai nghiệm.

 

Bài 20 : Tìm GTLN(GTNN) của :

      A =

      B =   (m6)

      C =

 

Bài 21 : D =  có GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1. Xác định a, b?

 

Bài 22 : CMR: Z, ta có : n2 + 5n + 16 không chia hết cho 169

 

Bài 23 : CMR: Z, ta có : 4n2 + 7n + 1 không chia hết cho 13.

 

Bài 24 : CMR nếu a + b  2 thì ít nhất một trong hai pt sau có nghiệm:

x2 + 2ax + b = 0 (1)   ; x2 + 2bx + a = 0 (2)

 

Bài 25 : CMR nếu a + b  2 thì ít nhất một trong hai pt sau có nghiệm:

x2 + 2a2bx + b5 = 0 (1)   ; x2 + 2ab2x + a5 = 0 (2)

 

Bài 26 : Giả sử : a + b + c = 6. CMR: một trong 3 phương trình sau có nghiệm :        

x2 + ax + 1 = 0 (1) ;    x2 + bx + 1 = 0 (2)

và  x2 + cx + 1 = 0 (3)

 

Bài 27 : CMR : nếu pt : ax2 + bxy + cy2 = 0 chỉ có duy nhất một nghiệm thì  b2 – 4ac < 0.

 

Bài 28 : Cho (P) : y = ax2(a≠0)và đường thẳng (d): y = bx + 4. Xác định a, b để (P) và (d) chỉ có một điểm chung duy nhất có hòanh độ là 2.

Bài 29 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :  x2 + 2y2 + 3xy + 3x + 3x + 5y = 14

 

Bài 30 :  Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn điều kiện : a +2b + 3c = 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm :

      4x2 – 4(2a + 1)x + 4a2 + 192abc + 1 = 0 (1)

      4x2 – 4(2b + 1)x + 4b2 + 96abc + 1 = 0   (2)

 

Bài 31 :  Cho 2 pt:   ax2 + bx + c = 0   (1) , a 0

                                 mx2 + nx + p = 0  (2) , m 0

CMR ít nhất một trong 2 pt trên vô nghiệm thì pt sau luôn luôn có nghiệm :

   (an – bm)x2 + 2(ap – mc)x + bp – nc = 0  (3)

 

Bài 32 : Cho phương trình x2 – 2ax – (a+3) = 0. Hãy tìm tất cả các số nguyên a sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên.

 

Bài 33 : Chứng minh rằng nếu pt (ẩn x) :

      ax2 + bx + c = 0 (1) có nghiệm thì pt:

(với c 0) cũng có nghiệm.

 

Bài 34 : CMR nếu pt (ẩn x) sau :x2 + px + q = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt thì hai pt (ẩn x) sau :

      x2 + (p + 2m)x + q + mp = 0 (2)

      3x2 + 2(p + m)x + q + mp = 0 (3)

cũng có hai nghiệm phân biệt.

 

Bài 35 : Cho a,b,c là ba số dương khác nhau, có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong 3 phương trình ẩn x :  x2 + ax + b = 0 (1)

x2 + bx + c = 0 (2) ;  x2 + cx + a = 0 (3)

Có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm.

 

Bài 36 : Chứng minh rằng với 3 số thực a,b,c phân biệt thì pt: có 2 nghiệm phân biệt.

 

Bài 37 : CMR  nếu  thì pt :2ax2 + bx + 1 –a = 0 có nghiệm.

Bài 38 : Gọi x1, x2  là nghiệm của phương trình : x2 –3x – 7 = 0

1/ Tính :      A =       C =

B =              D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

2/ Lập pt bậc 2 có nghiệm là :

 

Bài 39 : Lập pt bậc hai có các hệ số hữu tỉ và có một nghiệm là :

 

Bài 40 : Không giải pt, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nhỏ của pt bậc hai   

                

 

Bài 41 : Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt :

x2 – 7x + 3 = 0.Hãy lập pt bậc hai có 2 nghiệm 2x1 - x2 và 2x2 – x1 . Hãy tính giá trị của biểu thức

             A =

 

Bài 42 : Cho ptbậc hai : (m2 – 1)x2 + (m + 1)x + m + 3 = 0.Tìm m để pt có nghiệm x = -2. Tính nghiệm còn lại.

 

Bài 43 : Cho pt: (x ẩn số). Tìm m để pt có một nghiệm lớn hơn hai lần nghiệm kia một đơn vị ?

 

Bài 44 : Lập pt bậc hai có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn : 4 x1x2 – 5(x1 + x2) + 4 = 0

      và (x1 – 1)(x2 –1) =

 

Bài 45 :  Gọi a,b là các nghiệm của pt : x2 + 5x – 8 = 0. Lập pt bậc hai có các nghiệm là  và

 

Bài 46 : Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt ẩn x : x2 + ax + 1 = 0; và x3, x4 là nghiệm của phương trình ẩn x : x2 + bx + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức M = (x1 – x3)(x2 – x3)(x1 + x4)(x2 + x4) theo a và b.

 

Bài 47 :    a/ Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt ẩn x sau : .Tính :  theo x

b/ Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận  là nghiệm

 

Bài 48 : Hãy viết pt bậc hai dạng : x2 + px + q = 0. Biết rằng pt có nghiệm nguyên, có hệ số p,q đều là nguyên và p + q + 1 = 1993.        

 

Bài 49 : Tìm nghiệm của pt x2 +px + q = 0, biết rằng chúng là số nguyên và p + q = 198.

 

Bài 50 : : Biết rằng x1, x2  là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0. Viết phương trình bậc hai nhận  là nghiệm.

 

Bài 51 :- Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 5x2 – 3x – 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức :  A =

B =

C =

 

Bài 52 : Cho hai pt: x2 – (2m +n)x – 3m = 0 (1)

                         và   x2 – (m + 3n)x – 6 = 0   (2)

Tìm m và n đề (1) và (2) tương đương.

 

Bài 53 : Giải pt : (a + b)x2 – 2x – ab = 0

Biết rằng a,b là nghiệm của phương trình :

             y2 – (m + 1)y + m + 3 = 0

 

Bài 54 : Gọi a,b là 2 nghiệm của pt: x2 + px + 1 = 0 và b,c là 2 nghiệm của pt : x2 + qx + 1 = 0

Chứng minh hệ thức : (a –b)(b – c) = pq – 6

 

Bài 55 : Giả sử pt x2 + ax + b = 0 có nghiệm x1,x2 và pt: x2 + cx + d = 0 có nghiệm x3,x4. CMR :

2(x1 + x3)( x1 + x4)( x2 + x3)( x2 + x4) = 2(b – d)2 – (a2 – c2)(b – d) + (a + c)2(b + d)

 

Bài 56 : Tìm các hệ số a,b và các nghiệm của pt : x2 + ax + b = 0, biết rằng khi thêm 1 vào các nghiệm của nó thì chúng trở thành nghiệm của pt

                        x2 –a2x + ab = 0

 

Bài 57 : Chứng minh rằng nếu a,b,c là những số dương thì pt:

 có 2 nghiệm x1,x2 sao cho (x1 > x2) :

 

Bài 58 : Gọi x1,x2 là nghiệm của pt ẩn x : x2 – mx + 1 = 0 (m là số nguyên dương)

1/ CMR :  là số nguyên

2/ Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất để  chia hết cho 25

 

Bài 59 : Giả sử ptx2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR :     a2 + b2 là một hợp số

 

Bài 60 : Cho các pt :    x2 + ax + 1 = 0 (1)

          x2 + bx + 1 = 0 (2) ; x2 + cx + 1 = 0 (3)

Biết rằng tích một nghiệm của pt(1) với một nghiệm nào đó của pt (2) là nghiệm của pt (3).CMR: a2 + b2 + c2 + abc = 4

 

Bài 61 : Cho pt bậc hai (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi pt có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào tham số m.

 

Bài 62 : Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m (1)

1/Tìm m để pt (1) có một nghiệm là x = -2. Tính nghiệm còn lại.

2/Tìm m để pt (1) có 2 nghiệm thỏa

 

Bài 63 : Định m để pt: 5x2 + mx – 28 = 0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn hệ thức : 5x1 + 2x2 = 1

 

Bài 64 : Định m để pt: mx2 – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt  x1,x2 thỏa mãn :

                   x1 + 2x2 = 1.

 

Bài 65 : Định m để hiệu hai nghiệm của pt:

             mx2 – (m +3)x + 2m + 1 = 0 bằng 2.

 

Bài 66 : Tìm a để tổng các bình phương các nghiệm của pt :

      x2 – (2a – 1)x –4a – 3 = 0 là nhỏ nhất.

 

Bài 67 : Tìm m để pt : 3x2 + 4(m –1)x + m2 – 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn :                                                      

 

Bài 681/ Cho pt x2 – 5x – 1 =0. Gọi x1,x2 là các nghiệm số của pt trên. Tính :

A =

 và B =

2/ Cho pt: mx2 + (m2 – 1)x + 5 =0 (1). Định m để pt (1) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn :

 

Bài 69 : Cho pt x2 + (2m – 6)x + m – 13 = 0. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và biểu thức : A = x1,x2 - đạt gía trị lớn nhất.

 

Bài 70 : Cho pt: x2 – 2(m + 4)x + m2 – 8 = 0 (m là tham số). Tìm m để pt có hai nghiệm x1,x2 thỏa  đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Bài 71 : Cho các pt:  x2 + (m + 1)x + 1 = 0 (1) và  x2 + x + m + 1 = 0 (2)  (m là tham số)

Tìm m để hai pt (1) và (2) tương đương.

 

Bài 72 :  Cho pt: (m – 1)x2 + 2mx + m + 1 = 0

1/Định m để pt trên có 2 nghiệm trái dấu.

2/Định m để pt có 2 nghiệm x1,x2 thỏa:

                  

 

 

 

 

Bài 73Cho pt: x2 – 5mx – 4m = 0, có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

1) CMR: x12 + 5mx2 – 4m > 0.

2) Xác định giá trị m để biểu thức

    +  đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Bài 74 : Tìm m để pt: x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho

  10.

 

Bài 75 : 1) Cho pt: (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0 (x ẩn số). Tìm tất cả giá trị của m  để pt có nghiệm đều là những số nguyên.

2) Cho 3 số ,,. Đặt  a = ++, b = ++ và c =. CMR: các pt sau đều có nghiệm:

        x2 + 2ax + 3b = 0;   ax2 – 2bx + 3c = 0.

 

Bài 76 : Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của pt:  = 3x + m, trong đó m là tham số. Tìm để biểu thức  đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Bài 77 : Tìm m để pt: (x2 – 1)(x + 3)(x + 5) = m có 4 nghiệm x1, x2; x3; x4 thoả mãn:

+++= -1.

 

Bài 78 : Cho pt : x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 2 = 0.

Xác định m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho A = x1(x2 + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Bài 79 : Tính giá trị: S =  trong đó a là nghiệm dương pt : 4x2 + .

 

Bài 80 : Cho x1,x2 là 2 nghiệm của pt . Tính giá trị nhỏ nhất của  và nêu rõ khi đó m lấy giá trị nào ?

 

Bài 81 : Cho pt :  (m2 + m + 1)x2 – (m2 + 2m + 2)x –1 = 0 (*). Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình trên, tìm GTLN và GTNN của :  S = x1 + x2

 

Bài 82 :Cho pt : (m2 + m + 1)x2 – (m2 + 8m + 3)x – 1 = 0. Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt trên. Tìm GTLN và GTNN của tổng :  S = x1 + x2.

 

Bài 83 : Cho pt : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0. Gọi x1,x2 là các nghiệm của pt.Tìm GTLN của biểu thức : A =

 

Bài 84 : Cho pt: 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + 3 = 0. CMR: khi pt có nghiệm  thì ta có :                                

 

Bài 85 : Gọi x1,x2 là nghiệm của pt : x2 + bx + 1 = 0 và thỏa mãn điều kiện : . Tính x1,x2 ?

 

Bài 86: Cho hai pt : ax2 + bx + c = 0 (1)

                            và cx2 + bx + 1 = 0 (2)

Tìm liên hệ giữa các hệ số a,b,c biết rằng các nghiệm x1,x2 của pt (1), các nghiệm x3,x4 của pt (2) thỏa:

 

Bài 87 : Tìm m để pt: x2 + mx + 1 = 0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn :

 

Bài 88 : Cho pt : mx2 + x + m – 1 = 0

Định m để pt có 2 nghiệm phân biệt  x1,x2 thỏa mãn

 

Bài 89 :  Giả sử x1,x2 là nghiệm của pt : x2 + 2kx + 4 = 0. Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :

 

Bài 90 : Giả sử x1,x2 là nghiệm của pt : x2 + kx + a = 0 . Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức :

 

Bài 91 : Tìm m để pt sau có nghiệm chung :2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 – (3m – 2)x + 36 = 0

 

Bài 92 : Với giá trị nào của m thì 2 pt sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó : 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0 và  6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0

 

Bài 93 :Với giá trị nào của m thì 2 pt sau có nghiệm chung :2x2 + mx – 1 = 0 và mx2 – x + 2 = 0

 

Bài 94 : Định m để 2 pt sau có nghiệm chung : x2 + mx – 2m + 1 = 0 và mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0

 

Bài 95 :Cho 2 pt : x2 – 2mx + 4m = 0 (1) và                                                 x2 – mx + 10m = 0  (2).Tìm các giá trị của tham số m để pt (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của pt (1).

 

Bài 96: Cho 2 pt : x2 – x + m = 0 (1) và  x2 – 3x + m = 0 (2).Với giá trị nào của m thì pt (2) có một nghiệm khác 0 gấp 2 lần một nghiệm của pt (1).

 

Bài 97 : CMR nếu 2 pt : x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0 có nghiệm chung thì :

                   (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0.

 

Bài 98 : Giả sử 2 pt : a1x2 + b1x + c1 = 0 và a2x2 + b2x + c2 = 0 có ít nhất một nghiệm chung. CMR : 

      (a2c1 – a1c2)2 = (a2b1 – a1b2) (b2c1 – b1c2)

 

Bài 99 : Giả sử a,b là 2 số phân biệt. Chứng minh rằng nếu 2 pt :       x2 + ax + 2b = 0 (1)

                  và   x2 + bx + 2a = 0 (2)

có đúng một nghiệm thì các nghiệm số còn lại của 2 pt là nghiệm của pt x2 + 2x + ab = 0.

 

Bài 100 :Biết hai pt x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ac = 0 chỉ có một nghiệm chung (c  0). CMR : 2 nghiệm còn lại là nghiệm của pt x2 + cx + ab = 0

 

Bài 101: Cho các pt x2 + bx + c = 0 và x2 + b1x + c1 = 0 trong đó b,c,b1 và c1 là những số nguyên sao cho (b – b1)2 + (c – c1)2 > 0. CMR nếu cả có một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai là hai số nguyên phân biệt.

 

Bài 102: Cho pt: ax2+bx+c=0(a  0 ; k 1).CMR điều kiện cần và đủ để pt có 2 nghiệm x1,x2 thỏa điều kiện x1 = kx2 là (k + 1)2ac = kb2.

 

Bài 103: Cho pt : x2 – 97x + a = 0 có các nghiệm là lũy thừa bậc 4 của các nghiệm của pt: x2 – x + b = 0. Hãy tính a ?

 

Bài 104: Tìm các số a,b thỏa mãn :

1/ Hai pt :   x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 2 = 0 có một nghiệm chung.

2/  nhỏ nhất.

 

Bài 105 : Cho pt :(m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0

1/ Định m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.

2/ Định m để pt có 2 nghiệm phân biệt đều âm.

 

Bài 106: Cho pt: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0.

1/ CMR pt luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.

2/ Định m để pt có 2 nghiệm x1,x2 thỏa

                        1<x1<x2< 6.

 

Bài 107: Cho pt : x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0.

1/ Định m để pt có 2 nghiệm đều âm.

2/Định m để pt có 2 nghiệm x1,x2 thỏa

 

Bài 108: Cho pt: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0

1/ Định m để pt có nghiệm.

2/ Định m để pt có 2 nghiệm phân biệt đều dương.

 

Bài 109: Tìm các giá trị của m để pt sau có nghiệm và tính các nghiệm ấy theo m :   

                   x +

 

Bài 110: Cho pt : x2 – 2(m – 3)x – m + 2 = 0 (1)

a/ Định m để pt có nghiệm trái dấu

b/ Định m để pt có 2 nghiệm âm

 

Bài 111: Cho pt (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0

a/ Định m để pt có nghiệm phân biệt

b/ CMR: 4x1x2 – 2(x1 + x2) + 2 = 0

 

Bài 112: Gọi a, b là 2 nghiệm pt: x2 + px + 1 = 0

                    c, d là 2 nghiệm pt: x2 + qx + 1 = 0

CMR: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2

 

Bài 113: Định m để pt : (x2+ mx + 2)( x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

 

Bài 114 :  Cho pt  x2 – ax + b = 0 trong đó a, b là các số nguyên tố. Biết pt có 2 nghiệm nguyên dương phân biệt. CMR : a2 + b2 là một số nguyên tố

Bài 115 :  Giả sử pt x2 + ax + b + 1 = 0 có các nghiệm x1, x2 là các số nguyên khác 0.

CMR : a2 + b2 là một hợp số

 

Bài 116 :  Cho hai pt :  x2 + x + m = 0  (1) 

và x2 + ax + b = 0  (2). Tìm các giá trị nguyên của a và b để các nghiệm của pt (1) tương ứng là lập phương các nghiệm của pt (2)

 

Bài 117 : Cho pt :x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0  (1)

Tìm m để pt có 4 nghiệm x1, x2 ,x3, x4 sao cho khi biểu diễn 4 nghiệm đó trên trục số thì 4 điểm đó chắn trên trục hòanh thành 3 đọan thẳng bằng nhau.

 

Bài 118 :  Tìm các giá trị của m để pt sau có nghiệm

             + x +  = m

 

Bài 119 :  Cho pt : 3x4 – mx3 – 16x2 + mx + 3 = 0.

CMR: pt luôn có nghiệm. Giải pt  khi m = 7.

 

Bài 120 :  Cho pt  x4 + 2x2 – 2mx + (m – 1)2 = 0.

Tìm m để pt  có nghiệm là lớn nhất, nhỏ nhất ?

Bài 121 :  Cho các pt bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (1)  và ay2 + by – c = 0 (2)

a/ Tìm điều kiện để 2 pt cùng có nghiệm

b/ Giả sử x1, x2  và y1, y2  thứ tự là các nghiệm của (1) và (2). CMR : (y1 -  y2 )2 – (x1 -  x2 )2 = 8 x1 .x2  

 

Bài 122 :  Cho pt : x2 + 2(a + b)x + 4ab = 0. Với giá trị nào của a, b thì pt có ít nhất một nghiệm không âm.

 

Bài 123 : Cho pt  mx2 + 2(m – 2)x + m – 3 = 0  (1)

a/ Định m để (1) có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

b/ Tìm GTNN của biểu thức A = x12 +  x2 2 .

 

Bài 124 : Cho phương trình : x2 – 5mx – 4m = 0, có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

1) CMR: x12 + 5mx2 – 4m > 0.

2) Xác định giá trị m để biểu thức

    +  đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Bài 125 :  Cho pt: x2–2mx–m=0, (1) trong đó m là tham số , m <1.

1) CMR: pt(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

2) Xác định giá trị của m để biểu thức A bằng

+  đạt giá trị lớn nhất.

 

Bài 126 :  1) Với giá trị nguyên nào của a, b thì phương trình : x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa mãn : 

-2 < x1 < - 1   và 1 < x2 < 2

2)  Tìm a để phương trình  = 1 + 2a có một số lẻ các nghiệm thuộc đoạn

                       

 

 

 

Bài 127 :Tìm m để phương trình : x2 – mx + m =0 có nghiệm thỏa mãn : .

 

Bài 128 :Tìm m để phương trình : 2mx2 – x + m = 0 có nghiệm thỏa mãn :

 

Bài 129 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm x1,x2 là độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2.

      1/ x2 – mx + m2 – 3 = 0

      2/ x2 – mx + m2 – m – 3 = 0 (m > 0)

 

Bài 130 :Cho phương trình :x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

      1/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn 1.

      2/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.

 

Bài 131 :Tìm giá trị của m đẩ phương trình sau : x2 – (m – 1)x – m = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1

 

Bài 132 :Tìm điều kiện của tham số m để phương trình ít nhất có một nghiệm có trị số tuyệt đối không vượt quá 1 :(m + 1)x2 + 2(m + 5)x + m + 1 = 0

 

Bài 133 :Tìm m để phương trình : 3x2 – 4x + 2(m – 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.

 

Bài 134 :Với giá trị nào của m thì phương trình x2 + x + m = 0 có hai nghiệm đều lớn hơn m ?

 

Bài 135 :Định m để phương trình :mx2 – 2(m – 2)x + 1 = 0 (1)

Có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1.

 

 

Bài 136 :Cho phương trình mx2 – 2(m – 3)x + m – 4 =0 (1)

Định m để phương trình :1/ Có đúng một nghiệm dương.

                                           2/ Có đúng một nghiệm không dương.

 

Bài 137 :Tìm m để phương trình x2 – 2mx + (m + 1) + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.

 

Bài 138 :Định m để phương trình :     

mx2 – 2(m – 1)x + 2 =   có nghiệm duy nhất.

 

Bài 139 :Tìm m để phương trình : (x2 – 1)(x + 3)(x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4, thỏa mãn :

 

Bài 140 :Tìm m để phương trình : x2 + mx + 2m – 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

 

Bài 141 :Tìm giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm :

                                                (m + 1)x2 – 2x + (m –1) = 0 (1) ( m là tham số)

 

Bài 142 :Tìm m để phương trình : x2 + 2m có nghiệm.

Bài 143 : Cho phương trình  Định m để phương trình có nghiệm.

 

Bài 144 :- Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

                                               

 

Bài 145 :Cho phương trình : x3 – (2m + 1)x2 + (3m + 1)x – (m + 1) = 0 (1) (x là ẩn số). Định m để phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.

 

Bài 146 :Cho phương trình : x3 – 2mx2 + (2m2 – 1)x + m(1 – m2) = 0 (1). Định m để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt.

 

Bài 147 :Xác định m để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt: x3 – ( + 2m)x2 + (2m2 – 2m + 2)x – m2 + m – 1 = 0

Bài 148 : Xác định k để bất đẳng thức : 25x2 + 25y2 + kxy – x – y +     được thỏa mãn với mọi cặp số (x,y). Là tọa độ của điểm M nằm trên mỗi đường thẳng y = x và y = - x.

(Đề thi HSG – Quận I – 14/11/1996)

 

Bài 149 : Giải các phương trình sau :

      1/ x3 - 2x2 – 2x + 1 = 0                                          2/ x3 + 2x -5 = 0

      3/ x3 – x -  = 0                                                 4/ x3 + 2x2 + 2x + 2 = 0

      5/              

      6/ x3 – 3x2 + 9x – 9 =0                                           7/ x3 – x2 – x =

 

Bài 150 : Giải các phương trình sau :

1/ x3 + 3x – 3 = 0                      2/ x3 + 6x + 2 = 0

3/ x3 + 12x – 2 = 0

 

Bài 151 : Giải phương trình :

1/ 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0                     

2/ x5 – 2x4 + x3 + x2 – 2x + 1 =0

3/ (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16                        

4/ (x + 4)(x + 6) (x - 2)(x - 12) = 25x2

5/ (x + 5)(2x + 12) (2x + 20)(x + 12) = 3x2

6/ (4x + 1)(12x - 1) (3x + 2)(x + 1) = 4

(Đề thi vào lớp 10 PTTH Lê Hồng Phong – TP HCM – 2002 – 2003)

7/ x4 + x2 -  + 2 = 0                                 

8/ x4 – 4x = 1

9/ x4 – 8x + 7 = 0                                            

10/ x4 = 3x2 + 10x + 4

 

Bài 152 : Giải phương trình :

      1/ x4 - 2- x + 2 -  = 0

2/ Cho a > - 6 : x4 – 10x3 – 2(a – 11)x2 + 2(5a + 6)x + 2a + a2 = 0

3/ x6 – 7x2 +  = 0

 

Bài 153 : Giải các phương trình sau :

1/ (x2 – 16)(x – 3)2 + 9x2 = 0                           2/ x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 = 0

3/ (x2 – 6x – 9)2 = x3 - 4x2 – 9x                                   4/ x4 – 2x2 – 400x = 9999

5/ (x2 – a)2 – 6x2 + 4x + 2a = 0

6/36(x2 + 11x + 30)(x2 + 11x + 31) =(x2 + 11x + 12)(x2 +9x + 20)(x2 + 13x + 40)

 

Bài 154 : Giải phương trình sau :     

                   32x4 + (4x – 1)4 =

Bài 155 :   Định m để phương trình

                   x3 + .  có nghiệm.

 

Bài 156 :Chứng minh rằng phương trình :

             x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) = 0 luôn luôn có 3 nghiệm.

 

Bài 157 :Giải phương trình bậc ba : 

                   x3 – 3abx + (a3 + b3) = 0

 

Bài 158 :Giải phương trình : x3 + 3ax2 + 3(a2 – bc)x + a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 (x : ẩn số)

(Đề thi chọn đội tuyển Toán 9 – Quận I – 1999)

 

Bài 159 :Cho phương trình :

x4 – 2mx2 + m + 12 = 0 (1). Định m để (1) có 4 nghiệm phân biệt.

 

Bài 160 :Cho phương trình : x4 – 4x3 + 8x = m

1/ Giải phương trình khi m = 5

2/ Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

 

Bài 161 :Tìm tất cả các giá trị của b sao cho phương trình :

            x4 + bx3 + x2 + bx + 1 = 0 (1) có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau.

 

 

Bài 162 : Định a,b để phương trình :

      x4 + 2x3 - 3x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm kép phân biệt.

 

Bài 163 :Giải phương trình : x4 - 4x3 + 3x2 + 8x - 10 = 0.Biết rằng phương trình có hai nghiệm đối nhau.

 

Bài 164 :Cho phương trình ẩn x :

      x4 + 8x3 + 6x2 - 40x + m = 0. Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

 

Bài 165 :Cho phương trình ẩn x sau :

                   (m2 – m – 6)(x2 + 1)2 – 2(2m – 1)x(x2 + 1) + 4x2 = 0 (*)

Xác định m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm.

 

Bài 166 :Cho phương trình : (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a,b,c để phương trình có nghiệm.

 

Bài 167 :Giải phương trình : :x4 + y4 + (x2 + y2 – 2)(2xy – 1) + 3 x2y2 – 1 = 0 (1).

 

Bài 168 :Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :  (m – 3)x4 – 2mx2 + 6m = 0

 

Bài 169 :Tìm m để phương trình : mx4 – 10mx2 + m + 8 = 0 (1)

1/ Có 4 nghiệm phân biệt

2/ Có 4 nghiệm x1< x2< x3< x4 thỏa điều kiện :x4 – x3 = x3 – x2 = x2 – x1

 

Bài 170 :Tìm các giá trị của a để nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất :   x4 + 2x2 + 2ax + (a + 1)2 = 0

(Đề thi chọn đội tuyển– Quận 9 – 2000 – 2001)

 

Bài 171 : Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0 ( x : ẩn số). Biết rằng phương trình có nghiệm. Chứng minh rằng : a2 > 2.

 

Bài 172 :Chứng minh rằng nếu phương trình :

      x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 có nghiệm thì :

      a2 + (b – 2)2 > 3.

 

Bài 173 : Chứng minh rằng nếu x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 có nghiệm thì :  5(a2 + b2) ³ 4.

 

Bài 174 :Giả sử phương trình x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 (1) có nghiệm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 + c2

 

Bài 175 :Định m để hệ sau đây có nghiệm :               

 

Bài 176 : Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình: 2009x2 – (20a – 11)x – 2009= 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của : 

 

Bài 177 :  Xác định các số thực a, b,c sao cho phương trình ax2 + bx + c = 0 co 1hai nghiệm thực thuộc đoạn . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức : P =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 




2 comments:

  1. Giải phương trình này thế nào bạn :
    Biết hai pt x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ac = 0 chỉ có một nghiệm chung (c 0). CMR : 2 nghiệm còn lại là nghiệm của pt x2 + cx + ab = 0

    ReplyDelete
  2. (m-1)x^2-2(m-1)x+m+2=0 tìm m để pt có 1nghiệm>1 và 1 nghiệm <-1

    ReplyDelete

 

© 2012 Học Để ThiBlog tài liệu