6. Tìm các đại lượng trong dao động của con lắc đơn.

* Các công thức:

+ Tần số góc; chu kỳ và tần số: w = ; T = 2p và f = .

+ Thế năng: W_t = mgl(1 - cosa). Động năng: W_đ =  mv² = mgl(cosa - cosa₀).

+ Cơ năng: W = W_t + W_đ = mgl(1 - cosa₀).

+ Nếu  a₀ £ 10⁰ thì: W_t = mgla²; W_đ = mgl(- a²); W =mgl; a và a₀ tính ra rad.

    Thế năng và động năng của con lắc đơn biến thiên tuần hoàn với w' = 2w; f' = 2f ; T' =  .

+ Vận tốc khi đi qua li độ góc a: v = .

+ Vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng (a = 0): |v| = v_max = .

+ Nếu  a₀ £ 10⁰ thì: v = ; v_max = a_0; a, a₀ tính ra rad.

+ Sức căng của sợi dây khi đi qua li độ góc a:

    T_a = mgcosa + = mg(3cosa - 2cosa₀). T_VTCB = T_max = mg(3 - 2cosa₀); T_biên = T_min = mgcosa₀.

    Với a₀ £ 10⁰: T = 1 + a - a²; T_max = mg(1 + a); T_min = mg(1 - ).

* Phương pháp giải: Để tìm một số đại lượng trong dao động của con lắc đơn ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm.

* Bài tập minh họa:

1. Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s², con lắc đơn dao động điều hoà với chu kì s. Tính chiều dài, tần số và tần số góc của dao động của con lắc.

2. Ở cùng một nơi trên Trái Đất con lắc đơn có chiều dài l₁ dao động với chu kỳ T₁ = 2 s, chiều dài l₂ dao động với chu kỳ T₂ = 1,5 s. Tính chu kỳ dao động của con lắc đơn có chiều dài l₁ + l₂ và con lắc đơn có chiều dài l₁ – l₂.

3. Khi con lắc đơn có chiều dài l₁, l₂ (l₁ > l₂) có chu kỳ dao động tương ứng là T₁, T₂ tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s². Biết tại nơi đó, con lắc đơn có chiều dài l₁ + l₂ có chu kỳ dao động là 2,7; con lắc đơn có chiều dài l₁ - l₂ có chu kỳ dao động là 0,9 s. Tính T₁, T₂ và l₁, l₂.

4. Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn thực hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì trong khoảng thời gian đó, con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính chiều dài và chu kỳ dao động ban đầu của con lắc.

5. Tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s², một con lắc đơn và một con lắc lò xo dao động điều hòa với cùng tần số. Biết con lắc đơn có chiều dài 49 cm, lò xo có độ cứng 10 N/m. Tính khối lượng vật nhỏ của con lắc lò xo.

6. Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α₀ nhỏ (α₀ < 10⁰). Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Xác định vị trí (li độ góc α) mà ở đó thế năng bằng động năng khi:

    a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng.

    b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương về phía vị trí biên.

7. Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 g, treo vào đầu sợi dây dài   l = 50 cm, ở một nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s². Bỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao động điều hòa với biên độ góc         a₀ = 10⁰ = 0,1745 rad. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Tính thế năng, động năng, vận tốc và sức căng của sợi dây tại:

    a) Vị trí biên.                       b) Vị trí cân bằng.

* Hướng dẫn giải và đáp số:

1. Ta có: T = 2p ð l = = 0,2 m; f = = 1,1 Hz; w = = 7 rad/s.

2. Ta có: T = 4p² = T + T ð T₊ = = 2,5 s; T_- = = 1,32 s.

3. Ta có: T = 4p² = T + T (1); T = 4p² = T - T (2)

Từ (1) và (2) ð T₁ == 2 s; T₂ == 1,8 s; l₁ == 1 m; l₂ == 0,81 m.

4. Ta có: Dt = 60.2p = 50.2pð 36l = 25(l + 0,44) ð l = 1 m; T = 2p = 2 s.

5. Ta có: ð m = = 500 g.

6. Khi W_đ = W_t thì W = 2W_t ð mla= 2mla² ð a = ±.

    a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương từ vị trí biên a = - a₀ đến vị trí cân bằng a = 0: a = -.

    b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương từ vị trí cân bằng a = 0 đến vị trí biên a = a₀: a = .

7. a) Tại vị trí biên: W_t = W = mgl= 0,0076 J; W_đ = 0; v = 0; T = mg(1 - ) = 0,985 N.

    b) Tại vị trí cân bằng: W_t = 0; W_đ = W = 0,0076 J; v = = 0,39 m/s; T = mg(1 + a) = 1,03 N.